Jak uczyć zadań na dowodzenie na różnych etapach edukacyjnych

Jak uczyć zadań na
dowodzenie na różnych
etapach edukacyjnych
Niwki, 28.01.2013r.
Od 2010 roku matura z matematyki jest
obowiązkowa na poziomie podstawowym.
W arkuszach maturalnych na poziomie
podstawowym znajdują się zadania ze
standardu piątego dotyczącego rozumowania i
argumentacji w których uczeń powinien
prowadzić proste rozumowanie, składające się
z niewielkiej liczby kroków.
W arkuszu rozszerzonym także występują
zadnia dwa zadania ze standardu piątego.
Najtrudniejsze są zadania na dowodzenie z
geometrii, dlatego że zdający powinien
sporządzić rysunek, wprowadzić zgodnie z
założeniem oznaczenia, zauważyć kilka
własności geometrycznych i wyodrębnić, co
jest założeniem a co tezą (w wielu
przypadkach uczniowie traktują tezę jako
założenie).
Twierdzenia matematyczne możemy
dowodzić, stosując dwie metody:
dowodzenie wprost i nie wprost.
Można wykorzystać także zasadę indukcji
matematycznej, nie została ona jednak objęta
podstawą programową. Aby stwierdzić
prawdziwość twierdzenia, przeprowadza się
rozumowanie zgodne z prawami logiki zwane
dowodzeniem tego twierdzenia. W dowodzie
korzystamy z założeń dowodzonego
twierdzenia, aksjomatów lub z wcześniej
udowodnionych twierdzeń.
Dowód, w którym rozpoczyna się od
założeń, przeprowadza się wnioskowanie i
w ten sposób dochodzi do tezy nazywa się
dowodem wprost.
Dowód nie wprost polega na
zaprzeczeniu tezy dowodzonego
twierdzenia i wykazaniu, że przyjęcie
takiego zaprzeczenia prowadzi do
sprzeczności z założeniem lub wcześniej
dowiedzionym twierdzeniem lub
aksjomatem. Uzyskana sprzeczność
oznacza, że rozpatrywane twierdzenie
należy uznać za prawdziwe.
W zadaniach typu uzasadnij, że… uczeń ma
wskazany cel, który powinien osiągnąć,
poszukując odpowiedniego sposobu oraz
powołując się na znane własności.
W zbiorze zadań występują także zadania
typu uzasadnij, że…, chociaż główną część
ich dowodu stanowią obliczenia lub
budowanie modelu matematycznego.
Zdający powinien zastosować strategię,
która jasno wynika z treści zadania lub
zbudować model matematyczny do pewnej
sytuacji i krytycznie ocenić jego trafność
Wykaż, że liczba
𝒙 = 𝟕𝒏+𝟐 + 𝟕𝒏+𝟏 − 𝟐 ∗ 𝟕𝒏 , gdzie 𝒏 ∈ 𝑵 i
jest liczbą parzystą.
1.
D: Aby wykazać, że liczba jest parzysta,
należy pokazać, że liczba jest podzielna
przez 2. Korzystając z działań na potęgach,
liczbę x możemy zapisać w postaci: 𝑥 =
7𝑛 72 + 7 − 2 = 7𝑛 ∗ 54 = 2 ∗ 27 ∗ 7𝑛 , wobec
tego liczb x jest liczbą parzystą.
2. Uzasadnij, że liczba
𝟕𝒏+𝟐 − 𝟐𝒏+𝟐 + 𝟕𝒏 − 𝟐𝒏
jest podzielna przez 10.
𝑇: 7𝑛+2 − 2𝑛+2 + 7𝑛 − 2𝑛 = 10k, n, k ∈ 𝑁+
𝐿 = 7𝑛+2 − 2𝑛+2 + 7𝑛 − 2𝑛 =
= 7𝑛 49 + 1 − 2𝑛 4 + 1 =
=50 ∙ 7𝑛 − 5 ∙ 2𝑛 =
=7𝑛 ∙ 50 − 2𝑛−1 ∙ 10 =
=10 74 ∙ 5 − 2𝑛−1 =
=10𝑘 = 𝑃,
𝑘 ∈ 𝑁+
3. Wykaż, że liczba
𝟐𝟎𝟏𝟓𝟐𝟎𝟏𝟓 + 𝟐 ∗ 𝟐𝟎𝟏𝟓𝟐𝟎𝟏𝟒 + 𝟐𝟎𝟏𝟓𝟐𝟎𝟏𝟑
jest podzielna przez liczbę 2016.
D: 20152015 + 2 ∗ 20152014 + 20152013 =
= 20152013 20152 + 2 ∗ 2015 + 1 =
= 20152013 2015 + 1 2 = 20152013 ∗ 20162 ,
więc liczba jest podzielna przez 2016
4. Wykaż, że jeśli liczby a, b, c są pierwszymi, różnymi
liczbami to stosunek odwrotności tych liczb
𝟏
𝟏
𝟏
+ + nie jest liczbą naturalną.
𝒂
𝒃
𝒄
Założenie: liczby a, b, c są liczbami pierwszymi (liczbami
pierwszymi nazywamy te liczby naturalne, które mają tylko
dwa dzielniki)
1
1
1
Teza: + + nie jest liczbą naturalną
𝑎
𝑏
𝑐
Zauważmy, że ten dowód będzie nam łatwiej poprowadzić
metodą nie wprost.
1
1
1
D(nie wprost): Załóżmy, że + + = 𝑘, 𝑘 ∈ 𝑁,
𝑎
𝑏
𝑐
Pomnóżmy obie strony równania przez abc, zatem
𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏 = 𝑘𝑎𝑏𝑐,
𝑏𝑐 = 𝑘𝑎𝑏𝑐 − 𝑎𝑐 − 𝑎𝑏
𝑏𝑐 = 𝑎 𝑘𝑏𝑐 − 𝑐 − 𝑏
Czyli liczba bc, która jest iloczynem dwóch liczb pierwszych
dzieli się przez a. Zachodzi więc sprzeczność z założeniem, bo
liczby a, b, c są liczbami pierwszymi zatem teza jest
prawdziwa.
Trzy elementarne nierówności i
ich zastosowania
Przy dowodzeniu nierówności stosujemy
elementarne przejścia równoważne,
przeprowadzamy rozumowanie typu: jeżeli
𝑎 ≥ 𝑏 oraz 𝑏 > 0, to 𝑎 ≥ 𝑏 𝑎2 ≥ 𝑏 2 .
Własność 1: Dla każdych liczb
rzeczywistych a i b prawdziwa jest
nierówność: 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 ≥ 𝟐𝒂𝒃, przy czym
równość zachodzi wtedy i tylko wtedy,
gdy a=b.
1° D: 𝑎 − 𝑏 2 ≥ 0 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ≥ 0
𝑎2 + 𝑏 2 ≥ 2𝑎𝑏
Lub:
2° D: 𝑎2 + 𝑏 2 ≥ 2𝑎𝑏
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ≥ 0
𝑎−
Własność 2: Dla każdych nieujemnych
liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest
𝒂+𝒃
nierówność
≥ 𝒂𝒃.
1° D:
𝑎− 𝑏
𝟐2
≥0
𝑎 − 2 𝑎𝑏 + 𝑏 ≥ 0
𝑎+𝑏
𝑎 + 𝑏 ≥ 2 𝑎𝑏
≥ 𝑎𝑏,
2
Przy czym równość zachodzi wtedy i tylko
wtedy, gdy a=b lub
𝑎+𝑏
2° D:
≥ 𝑎𝑏
2
𝑎 + 𝑏 ≥ 2 𝑎𝑏
𝑎 − 2 𝑎𝑏 + 𝑏 ≥ 0
𝑎− 𝑏
2
≥0
Własność 3: Dla każdych liczb rzeczywistych
a i b takich, że 𝒂𝒃 > 𝟎, prawdziwa jest
𝒂
𝒃
nierówność + ≥ 𝟐.
𝒃
𝒂
1° D: 𝑎 − 𝑏 2 ≥ 0 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ≥ 0 𝑎2 + 𝑏 2 ≥ 2𝑎𝑏,
z założenia 𝑎𝑏 > 0
𝑎2
𝑎𝑏
𝑏2
+
𝑎𝑏
Lub
2° D:
≥2
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
+ ≥ 2, równość zachodzi gdy 𝑎 = 𝑏
+ ≥2
𝑎2 + 𝑏 2 ≥ 2𝑎𝑏
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ≥ 0
𝑎 − 𝑏 2 ≥ 0,
Nierówność prawdziwa dla każdych liczb
rzeczywistych a i b takich, że 𝑎𝑏 > 0
1.
Wykaż, że jeżeli 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0, to 𝑎 + 𝑏 𝑎 +
2. Jeżeli 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , … , 𝒂𝒏 ∈ 𝑹+ 𝒊 𝒂𝟏 ∙ 𝒂𝟐 ∙ … ∙ 𝒂𝒏 = 𝟏, to
𝟏 + 𝒂𝟏 𝟏 + 𝒂𝟐 𝟏 + 𝒂𝟑 ∙ … ∙ 𝟏 + 𝒂𝒏 ≥ 𝟐𝒏 .
W dowodzie wykorzystamy związek między
średnią arytmetyczną i geometryczną dwóch
liczb dodatnich (własność 2)
3. Uzasadnij, że
𝐥𝐨𝐠 𝒕𝒈𝟏° + 𝐥𝐨𝐠 𝒕𝒈𝟐° + 𝐥𝐨𝐠 𝒕𝒈𝟑° + ⋯ + 𝐥𝐨𝐠 𝒕𝒈𝟖𝟗° = 𝟎.
D: Korzystając z własności sumy logarytmów
można zapisać:
log 𝑡𝑔1° + log 𝑡𝑔2° + log 𝑡𝑔3° + ⋯ + log 𝑡𝑔89° = log 𝑡𝑔1° ∙ 𝑡𝑔2° ∙
4. Wykaż, że zachodzi równość:
1
log𝑎 4∙log4 𝑎
D: L=
= |4 − 𝑎| dla 𝑎 = 3 lub 𝑎 = 5.
1
log𝑎 4∙ log4 𝑎
=
log4 𝑎
log4 𝑎
=1
(z zamiany podstawy logarytmu).
4 − 𝑎 = 1 4 − 𝑎 = 1˅ 4 − 𝑎 = −1
𝑎 = 3 ˅𝑎 = 5).
6
𝑥
5. Uzasadnij, że równanie 5 − 𝑥 = ma
trzy rozwiązania 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 takie, że jedno z
nich jest iloczynem dwóch pozostałych.
6. Uzasadnij, że dla k=2, równanie
𝑥 − 2 − 𝑥 = 𝑘 ma nieskończenie wiele
rozwiązań
7. Wielomian W(x) jest wielomianem
stopnia czwartego, którego pierwiastkami
są liczby -2, -1, 1, 2. Uzasadnij, że
𝑊
2
𝑊
3
= 1.
8. Uzasadnij, że zbiorem wartości funkcji
f x =
2
2
𝑥 +𝑥
, 𝑥 ∈ 𝑅 jest zbiór 0; 1 > .
9. Wiedząc, że dla pewnego ciągu
geometrycznego 𝑎𝑛 ) o wyrazach dodatnich
prawdziwa jest równość 𝑆16 = 257 ∙ 𝑆8 , wykaż,
że iloraz tego ciągu 𝑞 = 2. Symbol 𝑆𝑛 oznacza
sumę n kolejnych początkowych wyrazów ciągu
𝑎𝑛 ).
10. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny
1 𝑛
𝑎𝑛 ) określony wzorem 𝑎𝑛 =
, 𝑛 = 1, 2, 3 …
2
Uzasadnij, że należy wziąć co najmniej 14
kolejnych wyrazów tego ciągu, aby ich suma
różniła się od sumy wyrazów tego
nieskończonego ciągu geometrycznego o mniej
niż 10−4 .
11. Dana jest funkcja
𝑓 𝑥 = 2 cos 2 2𝑥) + cos 2𝑥) i
𝑔 𝑥 = 2 sin2 2𝑥) − cos 2𝑥). Wykaż, że 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 2.
12. Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej 𝑥
1
prawdziwa jest nierówność sin3 𝑥 ∙ cos 𝑥 − cos 3 𝑥 ∙ sin 𝑥 ≤ .
4
13. Kod dostępu do komputera Bartka złożony jest z
trzech kolejnych naturalnych potęg liczby 4 ułożonych
w kolejności od największej do najmniejszej. Suma tych
potęg jest równa 5376. Znajdź kod dostępu do
komputera Bartka, zapisz rozumowanie.
4𝑛 + 4𝑛+1 + 4𝑛+2 = 5376
4𝑛 1 + 4 + 16 = 5376
4𝑛 ∗ 21 = 5376
4𝑛 = 256
4𝑛 = 44
Kod Bartka składa się z następujących potęg: 44 45 46 , czyli 25610244096.
14. Uzasadnij, że pole trójkąta, w którym
dwa boki mają długość 126 i 32, nie jest
większe od 2016.
D: Korzystając z wzoru na pole trójkąta:
1
𝑎𝑏
2
𝑃=
∙ sin 𝛼, gdzie 𝛼 jest kątem między
dwoma bokami trójkąta otrzymamy:
1
𝑃∆ = ∙ 126 ∙ 32 ∙ sin 𝛼 = 2016 ∙ sin 𝛼
2
Zauważmy, że 0 < sin 𝛼 ≤ 1, zatem pole
trójkąta nie przekroczy liczby 2016.
15. W trójkącie ABC, w którym 𝐴𝐶 = 𝑏,
𝐵𝐶 = 𝑎 𝑖 ∢𝐴𝐶𝐵 = 𝛼 z wierzchołka C
poprowadzono dwusieczną kąta, która
przecięła bok AB w punkcie D. Wykaż, że
2𝑎𝑏 cos 𝛼
𝐶𝐷 =
.
𝑎+𝑏
16. W trójkąt, którego boki mają długości
𝑎, 𝑏, 𝑐, wpisano okrąg i następnie
poprowadzono styczną do tego okręgu
równoległą do boku o długości c, nie
zawierającą tego boku. Wykaż, że długość
odcinka będącego częścią wspólną
poprowadzonej stycznej i trójkąta ma
𝑐 𝑎+𝑏−𝑐
długość 𝑥 =
.
𝑎+𝑏+𝑐
17. Wykaż, że dwusieczne dwóch sąsiednich
kątów równoległoboku są prostopadłe.
18. Dwusieczne kątów przy podstawie w
trapezie przecinają się w punkcie należącym do
krótszej podstawy. Wykaż, że długość krótszej
podstawy jest równa sumie długości ich
ramion.
19. W trójkącie prostokątnym promień okręgu
wpisanego ma długość r, zaś promień okręgu
na nim opisanego ma długość R. Wykaż, że
pole tego trójkąta jest równe 𝑃 = 2𝑅𝑟 + 𝑟 2
20. Podstawą ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 jest
kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku długości 𝑎. Odcinek
DS jest wysokością ostrosłupa i ma długość
h. Punkt M jest środkiem odcinka DS.
Wykaż, że pole przekroju tego ostrosłupa
płaszczyzną BCM jest równe 𝑃 =
3
𝑎 4𝑎2 + ℎ2 .
8
21. W graniastosłupie prawidłowym
trójkątnym ściany boczne są kwadratami.
Uzasadnij, że 𝑡𝑔𝛼 =
15
,
5
gdzie 𝛼 jest kątem,
jaki tworzy przekątna ściany bocznej z
sąsiednią ścianą boczną.
22. Uzasadnij, że jest 28800 liczb
naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie
których występuje dokładnie raz cyfra 7 i
dokładnie dwa razy cyfra 4.
23. Listonosz losowo rozmieszcza osiem
listów w sześciu różnych skrzynkach na
listy. Uzasadnij, że prawdopodobieństwo
tego, że w każdej skrzynce znajdzie się
665
przynajmniej jeden list, jest równe
.
5832
24. Z 75 sześcianów o krawędzi długości 1
Bartek zbudował graniastosłup prawidłowy
czworokątny, którego każda krawędź miała
długość większą od 1. Wszystkie ściany
graniastosłupa pomalował na niebiesko a
następnie rozłożył graniastosłup na
początkowe sześciany. Czy podane zdania są
prawdziwe czy fałszywe? Zaznacz właściwą
odpowiedź.
A] Sześcianów z trzema ścianami niebieskimi było 8.
□Prawda
□Fałsz
B] Sześcianów z dwiema ścianami niebieskimi było więcej niż sześcianów z jedną
ścianką niebieską.
□Prawda
□Fałsz
C] Z sześcianów, które nie miały żadnej niebieskiej ściany można zbudować
sześcian.
□Prawda
□Fałsz
Na IV etapie edukacyjnym na poziomie
podstawowym ta sama treść zadania, lecz inne
polecenie:
Z 75 tak pomalowanych sześcianów losujemy
jeden sześcian. Oblicz prawdopodobieństwo
wylosowania sześcianu:
A] z jedną pomalowaną ścianą,
B] z trzema pomalowanymi ścianami.
Na poziomie rozszerzonym sformułujemy pytanie:
Z 75 tak pomalowanych sześcianów losujemy
trzy sześciany. Oblicz prawdopodobieństwo,
że co najmniej dwie ściany sześcianu są
pomalowane .
Dziękuję za uwagę 
Opracowała M. Romanowska