Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z

Zestaw zadań
przygotowujących
do egzaminu maturalnego
z matematyki
poziom podstawowy i rozszerzony
Opracował:
zespół badawczy 13m
1
Spis treści:
I. Zadania na dowodzenie
II. Zadania z parametrem
III. Geometria analityczna
IV. Kombinatoryka . Rachunek prawdopodobieństwa
Zadania na poziom rozszerzony oznaczono literą R
2
I.
Zadania na dowodzenie
Liczby i podzielność
1. Wykaż, że liczba 10 n  2 jest podzielna przez 3
2. Wykaż, że 2  9100  9 99  9 98 jest podzielna przez 19
3. Wykaż, że 3 n  3 n 1  3 n  2 jest podzielna przez 13
4. Wykaż, że 2010 2010 jest podzielna przez 67 201
5. Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych przy dzieleniu przez 3
daje resztę 2.
6. Uzasadnij, że suma trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 6.
7. Udowodnij , ze dla każdego n  N+ liczba 6 jest dzielnikiem liczby postaci 13n-7.
8. (R ) Wykaż, że liczba 1111111112-1 jest podzielna przez 5
9. (R ) Wykaż, że każda liczba postaci n5-n jest podzielna przez 30.
Równania i nierówności
1. Udowodnij, ze jeżeli a>0 , to a+
2. Wykaż ,że jeżeli ab<0 ,to
3. Uzasadnij, że jeżeli
1
2.
a
a b
  2 .
b a
ab bc ca


 2 , to a  b  c.
c
a
b
4. (R ) Uzasadnij, że jeżeli a+b=1 i a2+b2=7, to a4+b4=31
1 1
5. (R ) Wykaż, że jeżeli xy>0, to ( x  y )(  )  4.
x y
6. (R ) Wykaż , ze dla n naturalnych i nieparzystych równanie xn+1 +64=xn +64x ma
dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste.
7. (R) Wykaż , że równanie (1+x)cosx + sinx = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie.
3
Funkcje
1. Wykaż, ż funkcja f(x)=(2m2+4)x-6 jest rosnąca, dla każdego m  R .
2. Wykaż, że niezależnie od parametru a funkcja f(x)=x2+a2-x-a+0,5 nie przyjmuje
wartości ujemnych.
3. Wykaż, że punkt P 

3 , 3 należy do wykresu funkcji f ( x) 
4. Wykaż, że dziedziną funkcji f ( x) 
2x3
15  x 2
.
5x  3
jest zbiór liczb rzeczywistych
x  4 x  10
2
5. (R) Wykaż, że dziedziną funkcji f ( x)  log x2 4 ( x 2  2 x  10) jest zbiór liczb
rzeczywistych
6. (R) Udowodnij, że zbiór wartości funkcji f  x  
x
zawiera się w przedziale  1,1 .
x 1
2
7. (R) Wykaż , ze jeżeli f(x)= 1  x  x 2  1  x  x 2 , to f(-x)=-f(x).
8. (R ) Wykaż , ze funkcja f(x)=x100+ax+b ma co najmniej dwa miejsca zerowe.
Planimetria i stereometria
1. Wykaż , ze kąt zewnętrzny w trójkącie jest równy sumie kątów wewnętrznych do niego
przyległych .
2. Udowodnij , ze przeciwległe kąty równoległoboku są równe i przeciwległe boki
równoległoboku są równe.
3. Wykaż , że jeżeli trzy kolejne kąty czworokąta wpisanego w okrąg tworzą ciąg
arytmetyczny , to dwa kąty tego czworokąta są proste.
4. (R ) Wykaż , że w równoległoboku suma kwadratów przekątnych jest równa sumie
kwadratów boków.
5. (R )Udowodnij twierdzenie o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta.
4
6. (R ) Wykaż , że jeżeli w trójkącie zachodzi związek
sin 
 2 cos  , to trójkąt jest
sin 
równoramienny.
7. (R) Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie O
tak ,że |AO|:|BO|=|CO|:|DO| . Wykaż , że ABCD jest trapezem.
8. Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość d, a sinus kąta
między tą przekątną a krawędzią podstawy jest równy p. Wykaż, że wysokość tego
graniastosłupa wyraża się wzorem d 2 p 2  1.
9. Romb obraca się dookoła każdej ze swoich przekątnych. Powstałe w ten sposób dwie
bryły mają równe objętości. Wykaż, że romb jest kwadratem.
10. (R ) Środki jednej z wysokości czworościanu foremnego połączono odcinkami z dwoma
wierzchołkami nie należącymi do tej wysokości. Wykaż, że odcinki te są prostopadłe.
11. (R ) Wykaż, że jeżeli na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg i środek okręgu jest
jednocześnie spodkiem wysokości ostrosłupa, to ściany boczne są trójkątami
równoramiennymi.
Zadania różne
1. Udowodnij, ze jeżeli liczby x ,y ,z , tworzą ciąg geometryczny ,
to (x + y + z ). (x - y + z) = x2 + y2 + z2
2. (R ) Trzy Liczby dodatnie a , b , c tworzą ciąg arytmetyczny. Wykaż , ze liczby
1
a c
;
1
c a
;
1
a b
również tworzą ciąg arytmetyczny
3. Udowodnij ,że jeżeli a  R+ ,b  R+\{1} ,x  R+ ,to logab logba=logbx.
4. (R ) Udowodnij, że log
ab 1
 log a  log b  ,gdy a2+b2=23ab.
5
2
5. Wykaż ,ze pierwiastkami wielomianu W(x) = x3-(a + b + c)x 2+(ab + ac + bc)x - abc
są liczby a , b , c e R.
5
6. (R ) Uzasadnij, że wielomian W(x)=2x3+x+1 nie ma pierwiastków wymiernych.
7. Udowodnij tożsamość (1  sin  )  (
8. (R )Udowodnij tożsamość :
II.
1
 tg )  cos 
cos 
1  cos 2 1  cos 


 ctg
sin 2
cos 
2
Zadania z parametrem
1. Dla jakiej wartości parametru m funkcja f(x)=(2m2-4)x-6 jest malejąca.
2. Dla jakiej wartości parametru a dziedziną funkcji f x  
x
jest zbiór liczb
x xa
2
rzeczywistych.
3. (R ) Dla jakiej wartości parametru k dziedziną funkcji
f ( x) 
2x
(1  k ) x 2  2(k  3) x  k  3
jest zbiór liczb rzeczywistych.
4. Dla jakiego m podane równanie ma jedno rozwiązanie
a) x 2  x  m  4 =0
b)(R) mx 2  (m  2) x  2  0
c) (R ) x  1  2 x  m
5. Dla jakiego m podane równanie ma rozwiązania
a) x 2  x  m  4 =0
b) (R) mx 2  (m  2) x  2  0
c) (R ) x  1  2 x  m
d) sin x 
2m  1
m 1
6
6. (R)Dla jakiego m równanie
mx 2  (m  2) x  2  0 ma:
a) dwa rozwiązania
b) dwa ujemne rozwiązania
c) dwa różne pierwiastki rzeczywiste mniejsze od 1
d) dwa pierwiastki, których suma kwadratów jest nie większa od 4
7. Dla jakiego a pierwiastkiem wielomianu W(x)=2x3+ax+a-6 jest 3
8. (R )Dla jakiego a reszta z dzielenia wielomianu W(x)=2x3+ax+a-6 przez x-5 wynosi 7.
9. Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste b takie, że zbiór rozwiązań równania
(x3+3x2-4)(x2+bx-4)=0 jest zbiorem trzyelementowym.
10. (R ) Wyznacz , w zależności od parametru m , współrzędne punktu P przecięcia się
prostych o równaniach x+y-m=0 i 3x-2y-2m+1=0. Jaką figurę tworzą wszystkie
punkty P ? Opisz równaniem tę figurę.

11. (R ) DIa jakiego parametru m  R wektory
u , v są prostopadłe jeżeli u =[2,m+1] ;

v = [m-3 , m+5]
12. Dla jakiej liczby rzeczywistej x, lczby a=2x-1,b=6-5x,c=-4x+4,, w podanej kolejności
tworzą ciąg : a) arytmetyczny
b) geometryczny
III.
Geometria analityczna
1. Dany jest okrąg o równaniu x  1   y  2  6 . Napisz równanie okręgu, który
2
2
otrzymasz przekształcając dany okrąg :
a) symetrycznie względem osi OX
b) symetrycznie względem prostej x=4
c) symetrycznie względem prostej 2x-3y+2=0
d) w symetrii środkowej względem punktu O=(0,0)
e) w symetrii środkowej względem punktu A=(2, -3)
7
f) w przesunięciu względem osi OX o dwie jednostki w lewo

g) (R) w przesunięciu o wektor u  2,3
h) (R) w jednokładności o środku w punkcie O=(0,0) i skali k=2
i) (R) w jednokładności o środku w punkcie P=(-3,1) i skali k=-2.
2. Znajdź równanie stycznej do okręgu o równaniu x2+y2=5
a) w punkcie A=(1,-2)
b) (R) przechodzącej przez punkt B=(0,5)
c) (R) równoległej do prostej o równaniu 2x-y=0
3. Określ położenie prostej x-y+4=0 i okręgu x2+y2-4x+2y=0
4. (R) Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których zbiór punktów równo
oddalonych od okręgu x2+y2-2x-4y-95=0 i od punktu A=(1 ,a+2) jest okręgiem.
5. (R) Punkty A=(2,3), B=(4,-1) są dwoma kolejnymi wierzchołkami kwadratu ABCD.
Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu.

6. (R) Dany jest trójkąt ABC , w którym A  (2,1) , AB  8,4 , a punkt przecięcia
środkowych ma współrzędne (1,4). Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków
trójkąta.
7. Sprawdź, czy punkty A=(-4,0), B=(1,-2), C=(4,1), D=(1,5) są wierzchołkami:
a) trapezu
b) równoległoboku
8. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC, jeżeli:
a) A=(-2,1), B=(3,4), C=(-5,6)
b) A=(1,5), B=(8,-2), C=(9,1)
8
IV. Kombinatoryka. Rachunek prawdopodobieństwa
1. Numer dowodu osobistego składa się z dziewięciu znaków .Trzy pierwsze to litery
wybrane z 25 liter , a pozostałe to cyfry .Ile różnych numerów dowodów można
przydzielić obywatelom .
2. W zestawie zadań maturalnych jest 10 zadań łatwych i 5 zadań trudnych .Na ile
sposobów można wybrać z tego zestawu 10 zadań tak aby wśród nich były :
a) 3 zadania trudne i 7 zadań łatwych
b) co najwyżej jedno zadanie trudne
3. Kupując samochód możesz wybrać jeden z pięciu kolorów tapicerki oraz jeden z trzech
kolorów tapicerki .Na ile sposobów możesz dokonać wyboru samochodu.
4. Na ile sposobów można ustawić w szereg czterech chłopców i trzy dziewczynki tak aby
a) najpierw stały dziewczynki a potem chłopcy
b) pierwszy stał chłopiec
c) żadnych dwóch chłopców nie stało obok siebie
5.
Ile liczb czterocyfrowych parzystych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr
{0,1,2,3,4,5}
m

  15
6. (R) Rozwiąż 
 m  2
7. Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Niech A oznacza zdarzenie –suma wyrzuconych
oczek jest równa 6, zaś B zdarzenie –za pierwszym razem wypadły dwa oczka .Na czym
polega zdarzenie
a) A  B
b) B\A
8. Z szuflady ,w której znajduje się 10 piłek tenisowych ,w tym 6 nowych ,wyjmujemy 5
piłek .Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania dwóch piłek nowych?
9. Na półce ustawiono losowo pięciotomowe dzieło .Oblicz prawdopodobieństwo ,że
książki stoją według kolejności tomów.
9
10. (R ) Trzy fabryki dostarczają pudełka do pewnego magazynu .35% dostaw pochodzi z
pierwszej wytwórni , 20% -z drugiej ,a 45% -z trzeciej .Wśród pudełek produkowanych
w pierwszej fabryce braki stanowią 4% , wśród pudełek produkowanych w drugiej tylko
2% ,a z trzeciej aż 6%.Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrane pudełko z tego
magazynu będzie dobre .
11. Obok stacji benzynowej średnio przejeżdża 4 razy więcej samochodów ciężarowych niż
osobowych. Prawdopodobieństwo , ze przejeżdżający samochód będzie nabierał
paliwo wynosi 0,02 , a ciężarowy 0,05. Jakie jest prawdopodobieństwo , ze
przejeżdżający samochód będzie nabierać paliwo ?
12. (R )Dany jest zbiór A= {1,2,3,....n}, n ≥3. Zbiór A dzielimy losowo na dwa niepuste podzbiory.
Oblicz prawdopodobieństwo tego , ze liczby 1 i n będą w tym samym podzbiorze.
13. (R )W pudełku znajdują się piłeczki :4 czarne i n białych .Wybieramy losowo bez
zwracania 2 piłeczki .Prawdopodobieństwo tego ,że obie są białe ,jest większe od
1
.Ile
3
piłeczek znajduje się w pudełku ?
14. Prawdopodobieństwo tego, że bramkarz obroni rzut karny wynosi 0,4. Jakie jest
prawdopodobieństwo tego ,że z trzech oddanych karnych obroni co najmniej jeden .
1
1
15. O zdarzeniach A, B   wiemy ,że P( A)  P( B)  iP ( A  B)  .Oblicz P ( A  B )
3
6
16. (R )O zdarzeniach A, B   wiadomo, że P ( A) 
1
1
1
, P( B)  , P( A  B)  .
4
3
5
Oblicz P( A  B )
17. (R ) Wykaż, że jeżeli P(A)=0,67 i P(B)=0,83, to P(A  B)  0,5.
18. (R ) Liczby P(A  B ) , P(A), P(A  B) tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A\B.
10