NP-zupełność

APT
Algorytmika Problemów Trudnych: Zestaw 2
Semestr letni 2016/2017
Kraków
7 marca 2017
NP-zupełność
Zadanie 1. W problemie Tripartite Matching dla grafu G pytamy, czy wierzchołki grafu
G możemy podzielić na trzyelementowe zbiory tak, aby każdy z tych zbiorów indukował
pełny trójkąt w grafie G. Wykaż, że problem Tripartite Matching jest NP-zupełny.
Zadanie 2. W problemie Exact Cover By Sets dla instancji wejściowej (Ω, S1 , . . . , Sn ),
gdzie Si są podzbiorami Ω pytamy, czy ze zbiorów S1 , . . . , Sk można wybrać parami rozS
łączną rodzinę zbiorów Si1 , . . . , Sik tak, aby kj=1 Sij = Ω. Wykaż, że problem Exact Cover
By Sets jest NP-zupełny.
Zadanie 3. W problemie Subset Sum pytamy, czy dla liczby M , ze zbioru liczb {a1 , . . . , an }
P
można wybrać zbiór ai1 , . . . , aik tak, aby kj=1 aij = M . Wykaż, że problem Subset Sum
jest NP-zupełny.
Zadanie 4. W problemie Pakowania Plecaka pytamy, czy ze zbioru przedmiotów A,
z których każdy przedmiot a ma wartość v(a) oraz pojemność w(a), możemy wybrać
podzbiór przedmiotów o łącznej wartości co najmniej V i łącznej wadze co najwyżej W .
Zadanie 5. Czy dwa powyższe problemy pozostają NP-zupełne przy założeniu, że liczby
podawane na wejściu są kodowane unarnie?
Zadanie 6. Czy problemy Minimalnego Zbioru Dominującego oraz Maksymalnej Kliki
pozostają NP-zupełne jeżeli na wejściu podawane są:
∗ grafy o maksymalnym stopniu ∆ (w przypadku odpowiedzi pozytywnej postaraj się
znaleźć najmniejsze ∆ dla których stosowne problemy pozostają NP-zupełne)?
∗ grafy planarne?
W odpowiedzi na pytanie o grafy planarne możesz skorzystać z faktu, że problem Planarny
3-SAT jest NP-zupełny.
Definicja: Planarny 3-SAT to problem decyzyjny, w którym pytamy o spełnialność danej
na wejściu planarnej formuły φ będacej w postaci 3-CNF-SAT (koniunkcja alternatyw, z
których każda ma co najwyżej 3 literały).
Definicja: Formuła φ jest planarna jeżeli graf określony na zbiorze wszystkich zmiennych
i wszystkich klauzul formuły φ, z krawędziami pomiędzy zmienną x oraz klauzulą c jeśli
tylko x lub ¬x jest literałem w c, jest planarny.
Strona 1/1