Wybrane zadania ze zbioru A. Kiełbasy zestaw 1, liczby rzeczywiste, funkcje 1. Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych nieujemnych takich, że suma ich iloczynu i ilorazu jest równa 185. 2. Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych, że ich największy wspólny dzielnik wynosi 6, a ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa 210. 3. Liczba naturalna ma dokładnie cztery dzielniki, a ich suma jest równa 56. Znajdź tę liczbę. 4. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n2 – n jest podzielna przez 30. 5. Wykaż, ze jeżeli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to p2 – 1 jest liczbą podzielną przez 24. 6. Wykaż, że jeżeli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba 5n też ma tę własność. 7. Wykaż, że jeżeli i , to 8. Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami nieujemnymi, to . . 9. Wykaż, ze suma sześcianów dwóch różnych liczb dodatnich jest większa od iloczynu ich sumy i ich iloczynu. 10. Wykaż, ze dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwa jest nierówność 11. Wykaż, że jeśli x + y + z = 0, to xy + yz + zx ≤ 0. 12. Funkcja f każdej liczbie całkowitej przyporządkowuje resztę z dzielenia przez8 jej kwadratu. a) Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą nieparzystą, to f(n) = 1. Wyznacz zbiór wartości funkcji f. c) Podaj miejsca zerowe funkcji f. 13. Wyznacz zbiór wartości funkcji , określonej wzorem 14. Funkcja f określona jest wzorem . Udowodnij, że zbiór wartości funkcji f zawiera się w przedziale <-1;1>. 15. Funkcja h określona wzorem h(x) = x3 + 2x – 3. Wykaż, że jeśli a, b R i a < b, to h(a) < h(b). 16. Funkcja f określona jest wzorem . Uzasadnij, że istnieje nieskończenie wiele par różnych liczb rzeczywistych, dla których funkcja f przyjmuje tę samą wartość, a następnie podaj wszystkie pary różnych liczb całkowitych o tej własności. 17. Funkcja f określona jest wzorem . Wykaż, ze jeżeli dla dwóch ujemnych liczb a i b zachodzi równość f(a) = f(b), to liczby a i b są równe.