Lista 4 -Kongruencje, MTF i twierdzenie Wilsona 1. Nie korzystając z

Lista 4 -Kongruencje, MTF i twierdzenie Wilsona
1. Nie korzystając z kalkulatora itp. oblicz:
a) 2100 mod 7;
b) 3200 mod 13; c) 7111 mod 15;
d) 111111 mod 35.
2. Oblicz: a) 10−1 mod 111; b) 51−1 mod 169; c) 1000−1 mod 1003.
3. Czy prawdą jest, że dla liczby pierwszej p zachodzi wynikanie
an ≡ bn mod p → a ≡ b mod p?
4. Znajdź ostatnie trzy cyfry liczby 7999 .
Wsk.: 74n ≡ (1 + 400)n ≡ 1 + 400n mod 1000.
5. Znajdź resztę z dzielenia: 99!: a) przez 101; b) przez 111.
6. Podaj piątą kartę w sztuczce z kartami, gdy pierwszymi czterema były kolejno:
a) as pik, król pik, dama pik, walet pik;
b) dama pik, trójka pik, siódemka pik i as pik.
7. Udowodnij MTF dla dodatnich a korzystając z indukcji matematycznej i wzoru
Newtona.
8. Udowodnij, że dla liczb pierwszych p zachodzi (p − 2)! ≡ 1 mod p.
9. Jakie wartości przyjmuje funkcja f (n) = (n − 1)! mod n?
10. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych postaci n! + 1.
11. Wykaż, że dla nieparzystej liczby pierwszej p zachodzą kongruencje:
a) 12 · 32 · 52 · . . . · (p − 2)2 ≡ (−1)
p+1
2
b) 22 · 42 · 62 · . . . · (p − 1)2 ≡ (−1)
p+1
2
mod p;
mod p.
Lista 5 -Twierdzenie Czebyszewa
1. Twierdzenie Czebyszewa głosi, że pomiędzy n a 2n jest liczba pierwsza. Korzystając z twierdzenia Czebyszewa pokaż, że pn < 2n .
2. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza mająca zapis
dziesiętny długości n. Analogicznie dla zapisu binarnego.
3. Udowodnij twierdzenie Czebyszewa dla n ¬ 1 000 000.
Uwaga: Możesz korzystać z dostępnych tablic liczb pierwszych, ale sam dowód
musi być dość krótki.
4. Ustawmy liczby 1, 2, ... n2 w tablicę
1
n+1
2n + 1
...
(n − 1)n + 1
2
n+2
2n + 2
...
(n − 1)n + 2
3
... n
n+3
... 2n
2n + 3
... 3n
...
... ...
(n − 1)n + 3 ... n2
Hipoteza Sierpińskiego głosi, że dla n ­ 2 w każdym wierszu takiej tablicy występuje przynajmniej jedna liczba pierwsza. Wykaż, że z hipotezy Sierpińskiego
wynika:
a) twierdzenie Czebyszewa;
b) hipoteza Legendre’a: pomiędzy kolejnymi kwadratami występuje liczba pierwsza.
c) hipoteza głoszącą, że pomiędzy kolejnymi sześcianami są przynajmniej dwie
liczby pierwsze.
5. * Wykaż, że dla n ­ 2 zbiór liczb 1, 2, ..., 2n można zawsze rozbić na n par
takich, że suma każdej pary jest liczbą pierwszą? Np. dla n = 2 mamy 1-4, 2-3,
dla n = 3 mamy 1-6, 2-5, 3-4, a dla n = 4 1-6, 2-5, 3-8, 4-7.
6. * Korzystając z twierdzenia Czebyszewa wykaż, że dla n > 1 suma harmoniczna
1+
nie jest liczbą całkowitą.
1
1 1
+ + ... +
2 3
n