Lista 6 KONGRUENCJE. "pdf"

Arytmetyka teoretyczna
LISTA 6. Kongruencje.
Definicja. Niech m bȩdzie dowolna̧ liczba̧ naturalna̧. Mówimy, że a
przystaje do b modulo m i piszemy a ≡ b (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy
m|a − b.
Zad. 1. Udowodnić:
Fakt Relacja przystawania modulo m jest relacja̧ równoważności, która jest kongruencja̧ w
pierścieniu liczb całkowitych (Z, +, ·), tzn., że kongruencje wzglȩdem tego samego modułu
można dodawać, odejmować i mnożyć stronami.
Pokazać, że relacja przystawania nie jest kongruencja̧ wzglȩdem dzielenia.
Zad. 2. Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n, liczby n i n5 maja̧
takie same cyfry jedności.
Twierdzenie Niech f (x) = f0 + f1 x + f2 x2 + . . . + fn xn bȩdzie wielomianem o
wspóczynnikach całkowitych, zaś m - dowolna̧ liczba̧ naturalna̧. Wówczas warunek a ≡
b ( mod m) implikuje f (a) ≡ f (b) ( mod m).
Zad.3. Udowodnić powyższe twierdzenie. W oparciu o twierdzenie sformułować i uzasadnić cechy podzielności przez 3, 9, 11, 7 i 13.
Zad 4. Pokazać, że cia̧g reszt z dzielenia liczb 2n , n ≥ 3, przez 1000 jest
okresowy o 100-wyrazowym okresie.
Twierdzenie Eulera. Dla każdej liczby naturalnej m > 0 i liczby całkowitej
a pierwszej wzglȩdem m zachodzi kongruencja aφ(m) ≡ 1( mod m).
Twierdzenie Fermata. Dla każdej liczby pierwszej p i liczby całkowitej
a takiej, że p nie dzieli a zachodzi kongruencja ap−1 ≡ 1( mod p).
Zad.5. Niech n > 2. Pokazać, że jeśli dla dowolnej liczby a z N W D(a, n) =
1 zachodzi an−1 ≡ 1 (mod n), to n jest liczba̧ nieparzysta̧.
Definicja. Niech f (x) bȩdzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, m - liczba̧ naturalna̧. Każda̧ liczbȩ całkowita̧ a, dla której f (a) ≡
0 (mod m) nazywamy pierwiastkiem kongruencji
(∗) f (x) ≡ 0 (mod m).
Mówimy, że pierwiastki a i b kongruencji (∗) sa̧ różne, gdy a 6≡ b (mod m).
Zad. 6. (a) Stosuja̧c Twierdzenie 1 Listy 5 udowodnić:
1
Twierdzenie. Kongruencja ax ≡ b ( mod m) jest rozwia̧zalna wtedy
i tylko wtedy, gdy N W D(a, m)|b; ma ona wówczas N W D(a, m) różnych
pierwiastków. W szczególności, gdy p jest liczba̧ pierwsza̧, zaś a jest liczba̧
całkowita̧ niepodzielna̧ przez p, to kongruencja ax ≡ b (mod p) ma dokładnie
jedno rozwia̧zanie.
(b) W oparciu o twierdzenie znaleźć wszystkie pierwiastki kongruencji:
(b1) 2x ≡ 4 ( mod 6); (b2) 3x ≡ 6 ( mod 15).
Chińskie twierdzenie o resztach. Jeśli liczby naturalne m1 , m2 , . . . , mk
sa̧ parami wzglȩdnie pierwsze, to dla dowolnych liczb całkowitych a1 , a2 , . . . , ak
istnieje dokładnie jedna liczba całkowita a taka, że 1 ≤ a ≤ m1 · m2 · . . . · mk
oraz a ≡ ai (mod mi ), dla każdego i = 1, 2, . . . , k.
Zad.
7. Znaleźć liczbȩ, która spełnia nastȩpuja̧cy układ kongruencji:

 x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)

x ≡ 4 (mod 7)
Twierdzenie Lagrange’a. Jeśli f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn jest
wielomianem stopnia n o współczynnikach całkowitych, a p - liczba̧ pierwsza̧
taka̧, że p nie dzieli an . Wówczas kongruencja f (x) ≡ 0 (mod p) ma co
najwyżej n różnych p-pierwiastków.
Wniosek. Jeśli kongruencja stopnia n o współczynnikach całkowitych i
module pierwszym p ma wiȩcej niż n pierwiastków, to jest tożsamościowa.
Twierdzenie Wilsona. Na to, żeby liczba p > 1 była pierwsza potrzeba
i wystarcza, aby
p | (p − 1)! + 1.
Zad. 8. Udowodnić nastȩpuja̧ce twierdzenie (Leibniza):
p > 1 jest liczba̧ pierwsza̧ wtedy i tylko wtedy, gdy (p − 2)! ≡ 1 (mod p).
Zad. 9. Pokazać, że jeśli n 6= 4 jest liczba̧ złożona̧, to
(n − 1)! ≡ 0 (mod n).
Zad. 10. Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n,
dla których liczba n! + 1 jest złożona.
Zad. 11. Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n,
dla których liczba n! − 1 jest złożona.
2