Arytmetyka teoretyczna LISTA 1: Liczby naturalne. Aksjomat indukcji

Arytmetyka teoretyczna
LISTA 1: Liczby naturalne. Aksjomat indukcji
Definicja liczb naturalnych jako struktury (N, S, 0):
(1) 0 ∈ N
(2) jeśli n ∈ N, to S(n) ∈ N
(3) 0 6= S(n), dla każdego n ∈ N
(4) jeśli S(n) = S(m), to n = m
(5) (Aksjomat indukcji) Dla dowolnego zbioru A, jeśli
0 ∈ A oraz dla każdego n, zachodzi
(n ∈ A → S(n) ∈ A),
to N ⊆ A.
Uwaga. Każdy element należa̧cy do N\{0} ma postać S(n) dla pewnego
n ∈ N. Dlatego każdy taki element ma również postać słowa S(S(...S(0)...)).
Posługuja̧c siȩ aksjomatami (1)-(5) definiujemy indukcyjnie (rekurencyjnie)
funkcjȩ
x−̇1 :
niech 0−̇1 = 0 i S(n)−̇1 = n.
Funkcja x−̇y jest określona na N w sposób nastȩpuja̧cy:
x−̇0 = x,
x−̇S(n) = (x−̇n)−̇1.
Mówimy, że x ≤ y, jeśli x−̇y = 0. Warunek x < y oznacza x ≤ y i x 6= y.
Twierdzenie 1. Dla dowolnych x, y i z ∈ N mamy:
0 ≤ x i x ≤ x,
x ≤ y lub y ≤ x,
jeśli x ≤ y i y ≤ z, to x ≤ z.
Twierdzenie 2. Akjomat indukcji implikuje modulo (1) - (4) każde z
nastȩpuja̧cych stwierdzeń:
Zasada Minimum: Każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych
ma element najmniejszy.
1
Zasada Maksimum: Każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru
liczb naturalnych ma element najwiȩkszy.
Zad.1. Pokazać, że aksjomaty (1) - (5) implikuja̧ Zasady Maksimum i
Minimum.
Zad.2. Posługuja̧c siȩ aksjomatami (1)-(5) zdefiniować rekurencyjnie dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb naturalnych.
Zad.3. Stosuja̧c definicjȩ z powyższego zadania pokazać równość
m + S(n) = S(m) + n.
Zad.4. Pokazać, że dla każdej naturalnej liczby n istnieje liczba k spełniaja̧ca warunek n = k + k lub n = k + S(k).
Zad.5. Posługuja̧c siȩ aksjomatami (1)-(5) zdefiniować rekurencyjnie na
zbiorze N funkcje 2x i
0 : x=0
sg(x) =
;
1 : x 6= 0
1 : x=0
sg(x) =
1 : x 6= 0
Zad.6. Wskazać bła̧d w podanym poniżej "dowodzie".
"Twierdzenie" Dla każdego n ≥ 0 zachodzi nierówność 30n < 2n + 110.
"Dowód": Załóżmy, że 30n < 2n +110. Wtedy 30(n+1) = 30n+30 < 2n +
110 + 30, gdzie ostatnia nierówność zachodzi o ile n ≥ 5. Dla n = 0, 1, 2, 3, 4
sprawdzamy bezpośrednio. Tym samym nierówność zachodzi dla wszystkich
n ≥ 0.
Zad.7. Stosuja̧c indukcjȩ matematyczna̧ udowodnić, że jeśli iloczyn dodatnich liczb a1 , a2 , . . . , an wynosi 1, to a1 + a2 + . . . + an ≥ n.
Twierdzenie 3. Struktura (N, S, 0) jest określona przez aksjomaty (1) (5) jednoznacznie z dokładnościa̧ do izomorfizmu.
Niech PA bȩdzie
- zbiorem standardowych aksjomatów struktury (N, +, ·, <, 0, 1)
(tzn., że (N, +, <, 0) (i (N, ·, <, 1)) jest uporza̧dkowana̧ półgrupa̧
komutatywna̧ i beztorsyjna̧, że mnożenie przez zero daje zero i
działania + i · spełniaja̧ standardowy aksjomat rozdzielności)
2
- razem z nastȩpuja̧cym schematem aksjomatów indukcji matematycznej:
∀x(ψ(x) → ψ(x + 1)) → (ψ(0) → ∀xψ(x))
gdzie ψ jest formuła̧ arytmetyki elementarnej z jedyna̧ wolna̧ zmienna̧ x.
Niech Γ bȩdzie zbiorem formuł, w których wystȩpuja̧ +, ·, <, 0, 1. Niech
φ bȩdzie pewna̧ formuła̧ (tego samego typu). Dowodem formuły φ ze
zbioru Γ nazywamy taki cia̧g formuł φ1 , ..., φk , że φk = φ i każda φi albo
jest aksjomatem logicznym, albo należy do Γ, albo też została otrzymana z
formuł wystȩpuja̧cych przed φi w wyniku zastosowania reguły dowodzenia
logicznego.
W tym przypadku mówimy, że φ jest wyprowadzalna (lub posiada dowód)
z Γ, co oznaczamy
Γ`φ.
Twierdzenie Gödla o niezupełności. Istnieje takie zdanie ψ0 w jȩzyku
arytmetyki elementarnej, że PA 6` ψ0 i PA 6` ¬ψ0 .
3