LISTA ZADA NR 7 Z MATEMATYKI DYSKRETNEJ Teoria liczb 1. Uzasadnij poni sze cechy relacji podzielno ci w zbiorze liczb całkowitych. Dla dowolnych a, b, c ∈ Z a) a | a dla a ≠ 0 ; b) (a | b ∧ b | c ) a | c dla a ≠ 0 i b ≠ 0 ; c) (a | b ∧ a | c ) d) (a | b ∧ b | a ) ∧ x , y∈ Z a | (bx + cy ) ; a = ±b . 2. Dla zadanych liczb a ∈ Z i b ∈ N + przedstaw rozkład liczby a w nast puj cy sposób: a = bq + r , gdzie q, r ∈ Z oraz 0 ≤ r < b . b = 2; a) a = 47 , b) a = 20 , b = 4; c) a = −23 , b = 5 ; b = 35 ; d) a = 20 , Udowodnij jednoznaczno takiego rozkładu dla ustalonych liczb a ∈ Z i b ∈ N + . 3. Liczby a, b ∈ N + zapisz jako iloczyn liczb pierwszych, a nast pnie wyznacz ich najwi kszy wspólny dzielnik NWD(a, b) , oraz najmniejsz wspóln wielokrotno NWW (a, b) . Sprawd , dla podanych przykładów, czy zachodzi zwi zek: NWD(a, b) ⋅ NWW (a, b) = a ⋅ b . a) a = 30 , b = 75 ; b) a = 100 , b = 144 ; b = 121 ; c) a = 77 , 4. Wykorzystuj c algorytm Euklidesa wyznacz NWD(a, b) dla nast puj cych liczb a, b ∈ N + : a) a = 1029 , b = 1071 ; b) a = 278 , b = 394 ; Uzasadnij poprawno działania tego algorytmu. 5. Uzasadni , e dla dowolnych liczb a, b ∈ N + równanie ax + by = NWD(a, b) ma rozwi zanie ( x, y ) ∈ Z 2 (rozszerzony algorytm Euklidesa). Korzystaj c z rozszerzonego algorytmu Euklidesa rozwi poni sze równania w zbiorze liczb całkowitych. a) 1547 x + 560 y = 7 ; b) 111x + 21 y = 3 . Czy równanie 111x + 21y = 1 ma rozwi zanie w zbiorze liczb całkowitych? Czy równanie 111x + 21 y = 6 ma rozwi zanie w zbiorze liczb całkowitych? 6. Sprawdzi , e relacja przystawania modulo n jest relacj równowa no ci w zbiorze Z . Wyznaczy klasy abstrakcji wzgl dem tej relacji dla n = 6 . Uzasadni nast puj ce własno ci kongruencji: a) [a ≡ b (mod n) ∧ c ≡ d (mod n)] a ± c ≡ b ± d (mod n) ; b) [a ≡ b (mod n) ∧ c ≡ d (mod n)] ac ≡ bd (mod n) . 7. Korzystaj c z własno ci kongruencji uzasadni cechy podzielno ci liczb naturalnych przez 3, 9 i 11. 8. Poda zbiór rozwi za nast puj cych kongruencji w zbiorze liczb całkowitych: a) 21x ≡ 5 (mod 36) ; b) 4 x ≡ 6 (mod 7) ; c) 3x ≡ 59 (mod 100) ; d) 3x ≡ 27 (mod 33) . 9. Rozwi za układ kongruencji: x ≡ 1(mod13) x ≡ 8 (mod13) a) , b) . x ≡ 4 (mod15) x ≡ 65 (mod 99) 10. Stosuj c Chi skie Twierdzenie o Resztach wyznaczy najmniejsze nieujemne rozwi zanie układu kongruencji: x ≡ 2 (mod 3) x ≡ 0 (mod 2) x ≡ 7 (mod10) a) x ≡ 12 (mod13) , b) . x ≡ 10 (mod11) x ≡ 2 (mod15) x ≡ 1(mod 7) 11. Obliczy warto ci funkcji Eulera (n) dla kilku liczb naturalnych dodatnich n: 1, 2, 3, 4, 7, 10,13. Uzasadnij nast puj ce własno ci funkcji Eulera: a) ( p ) = p − 1 dla dowolnej liczby pierwszej p; b) ( p 2 ) = p ( p − 1) dla dowolnej liczby pierwszej p; c) ( p q) = ( p − 1)(q − 1) dla dowolnych liczb pierwszych p i q. 12. Sprawdzi czy: a) 5 ( 6 ) ≡ 1(mod 7) ; b) 4 ( 6 ) ≡ 1(mod 7) ; 13. Wykorzystuj c Twierdzenie Eulera obliczy mo liwie szybko: a) 16 75 mod 35 ; b) 2100 mod 3 ; c) 2155 mod 32 . 14. Obliczy mo liwie szybko: a) ostatni cyfr liczby 3999999 , b) reszt z dzielenia liczby 14111 przez 15. Dorota Majorkowska-Mech