Definicja. Relację binarną ϱ określoną w zbiorze X nazywa

Definicja. Relację binarną % określoną w zbiorze X nazywamy relacją typu równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i
przechodnia:
∀x∈X x%x, ∀x,y∈X x%y ⇒ y%x,
∀x,y,z∈X x%y ∧ y%z ⇒ x%z.
Niech m będzie liczbą naturalną, m > 1. W zbiorze Z określmy
relację
x ≡ y (mod m) ⇔ m | x − y.
Zapis x ≡ y (mod m) czytamy „ x przystaje do y modulo m”.
Przystawanie modulo m jest relacją równoważności w zbiorze Z.
Ponadto x ≡ y (mod m) dokładnie wtedy, gdy x i y dają tę samą
resztę przy dzieleniu przez m.
1
Przykład. Tabela liczb całkowitych dających odpowiednie reszty
przy dzieleniu przez 5.
reszta
0
1
2
3
4
liczby
. . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . .
. . . , −9, −4, 1, 6, 11, . . .
. . . , −8, −3, 2, 7, 12, . . .
. . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . .
. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . .
Zatem:
−10 ≡ 5 (mod 5),
2014 ≡ 4 (mod 5),
−96≡7 (mod 5),
−4 ≡ 11 (mod 5),
3 ≡ 13 (mod 5),
−26≡2 (mod 5).
2
Definicja. Niech % będzie relacją binarną w zbiorze X. Dla każdego elementu x ∈ X określamy zbiór
[x]% = {y ∈ X : x%y} ⊂ X.
Jeśli % jest relacją typu równoważności, to zbiór [x]% nazywamy
klasą abstrakcji lub klasą równoważności elementu x.
3
Dla relacji przystawania modulo 5 mamy np.:
[0]% = {. . . , −5, 0, 5, 10, . . . },
[7]% = [2]% = {. . . , −3, 2, 7, 12, . . . },
[2014]% = [4]% = {. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . . }.
Zauważmy, że zbiory [0]%, [1]%, [2]%, [3]%, [4]% są parami rozłączne
oraz
[0]% ∪ [1]% ∪ [2]% ∪ [3]% ∪ [4]% = Z.
4
Twierdzenie. Jeśli % jest relacją typu równoważności w zbiorze
X, to:
a) ∀x∈X x ∈ [x]%,
b) ∀x,y∈X [x]% = [y]% ∨ [x]% ∩ [y]% = ∅,
c) ∀x,y∈X x%y ⇔ [x]% = [y]%.
5
Twierdzenie. Jeśli zbiór X jest sumą parami rozłącznych niepustych zbiorów Xt, t ∈ T :
X=
[
Xt,
t∈T
∀t∈T Xt 6= ∅, ∀t,t0∈T t 6= t0 ⇒ Xt ∩ Xt0 = ∅,
to relacja ∼ w zbiorze X, określona następująco:
x ∼ y ⇔ ∃t∈T x, y ∈ Xt,
jest relacją równoważności.
Pytanie. Które z założeń powyższego twierdzenia jest niepotrzebne?
6
Przykłady:
podział X = {A, B, C, D} ∪ {E, F } ∪ {G, H} ∪ {I} określa relację ∼
taką, że np. A ∼ A, A ∼ B, A ∼ C, A ∼ D, A 6∼ E, A 6∼ F , A 6∼ G,
A 6∼ H, A 6∼ I,
podział {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 3, 5} ∪ {2, 4} określa relację ∼ taką, że
x ∼ y ⇔ x i y są tej samej parzystości.
Definicja. Jeśli % jest relacją typu równoważności w zbiorze
X, to zbiór jej klas abstrakcji nazywamy zbiorem ilorazowym i
oznaczamy symbolem X/%.
Przykład. Dla przystawania modulo 5 mamy
Z/% = {[0]%, [1]%, [2]%, [3]%, [4]%}.
7
Konstrukcje zbiorów liczbowych
8
Zbiór liczb wymiernych
Rozważmy zbiór
X = Z × (Z \ {0} = {(a, b); a, b ∈ Z, b 6= 0}.
W zbiorze X określamy relację binarną
(a, b)%(c, d) ⇔ ad = bc.
Relacja % jest relacją równoważności.
Definicja. Q = X/% = {[x]%, x ∈ X}.
9
Jeśli % jest relacją równoważności w zbiorze X, to zbiór
[x]% = {y ∈ X : x%y} = {y ∈ X : y%x}
nazywamy klasą abstrakcji (klasą równoważności) elementu x.
1
Przykład. Liczbę wymierną
definiujemy jako klasę abstrakcji
2
pary (1, 2). Mamy
(1, 2)%(a, b) ⇔ 1 · b = 2 · a,
więc
[(1, 2)]% = {(a, b) ∈ X : b = 2a} =
= {(1, 2), (−1, −2), (2, 4), (−2, −4), (3, 6), (−3, −6), . . . }
10
Analogicznie konstruujemy zbiór liczb całkowitych mając dany
zbiór liczb naturalnych.
Rozważmy zbiór
X = N × N = {(a, b); a, b ∈ N}.
W zbiorze X określamy relację binarną
(a, b)%(c, d) ⇔ a + d = b + c.
Relacja % jest relacją równoważności.
Definicja. Z = X/% = {[x]%, x ∈ X}.
11
Przykład. Liczbę całkowitą −1 definiujemy jako klasę abstrakcji
pary (0, 1).
Mamy (0, 1)%(a, b) ⇔ 0 + b = 1 + a, więc
[(0, 1)]% = {(a, b) ∈ X : b = a+1} = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), . . . }
12
Zbiór liczb naturalnych określamy aksjomatycznie, a istnienie
takiego zbioru wynika z kolei z aksjomatów teorii zbiorów.
N – zbiór,
∗ : N → N, n 7→ n∗ – funkcja następnika,
0 ∈ N – wyróżniony element (zero).
13
Aksjomaty Peana:
1) 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej:
∀n∈N n∗ =
6 0.
2) Funkcja następnika jest różnowartościowa:
∀m,n∈N m∗ = n∗ ⇒ m = n.
3) Aksjomat indukcji matematycznej. Dla dowolnego podzbioru
A ⊂ N mamy:
(0 ∈ A ∧ ∀n∈N (n ∈ A ⇒ n∗ ∈ A)) ⇒ A = N.
14
Dodawanie liczb naturalnych:
m + 0 = m dla m ∈ N,
m + n∗ = (m + n)∗ dla m, n ∈ N.
Mnożenie liczb naturalnych:
m · 0 = 0 dla m ∈ N,
m · n∗ = m · n + m dla m, n ∈ N.
15
Określamy: 1 = 0∗, 2 = 1∗, 3 = 2∗, 4 = 3∗, . . .
Przykład: n + 1 = n∗.
Przykład: 2 + 2 = 4.
Przykład: 2 · 2 = 4.
16
Zbiór liczb rzeczywistych można skonstruować na dwa sposoby.
Sposób I. Rozważamy ciągi Cauchy’ego liczb wymiernych, czyli wszystkie ciągi liczb wymiernych, które okażą się zbieżne w
zbiorze liczb rzeczywistych. Za pomocą relacji równoważności
"sklejamy" ciągi zbieżne do tej samej liczby rzeczywistej.
Sposób II. Przekroje Dedekinda. Rozważamy podziały zbioru
liczb wymiernych na dwa niepuste podzbiory A, B spełniające
warunek
∀a∈A∀b∈B a < b.
17
√
Przekrój Dedekinda (A, B) określający liczbę 2:
√
A = Q ∩ (−∞, 2) = {x ∈ Q : x < 0 ∨ x2 < 2},
√
B = Q ∩ ( 2, +∞) = {x ∈ Q : x > 0 ∧ x2 > 2}.
Jeśli w jest liczbą wymierną to mamy dwa przekroje:
A1 = {x ∈ Q : x 6 w}, B1 = {x ∈ Q : x > w},
A2 = {x ∈ Q : x < w}, B2 = {x ∈ Q : x > w},
które należy utożsamić.
18
Liczby zespolone
19
Definicja: C = R × R = {(a, b); a, b ∈ R}.
Działania w C:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Para (a, 0) odpowiada liczbie rzeczywistej a:
(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0), (a, 0) · (c, 0) = (ac, 0).
Przyjmując i = (0, 1) mamy:
a + bi = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b),
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.
20