16 drużyn pierwszoligowych rozgrywa mecze systemem „każdy z

Logika z Algebrą dla I roku Technik Komputerowych
Zadania na ćwiczenia w dniu 21 X 2002 r.
Zadanie 1. W zbiorze E złożonym z szesnastu drużyn piłkarskiej ekstraklasy wprowadzamy
relację R przyjmując:
dla każdej drużyny xE spełnione jest (x,x)R,
jeżeli drużyna x jest różna od drużyny y, to drużyna x jest w relacji R z drużyna y wtedy i
tylko wtedy, gdy x pokonała y na swoim boisku.
Jeżeli w każdym spotkaniu ekstraklasy zwyciężą gospodarze, to każde x jest w relacji R z
każdym y, czyli R=EE. Wtedy R jest relacją równoważności która ma dokładnie jedną klasę
abstrakcji równą E.
Jeżeli w każdym spotkaniu ekstraklasy będzie remis lub zwyciężą goście, to R={(x,x): xE}.
Jest to relacja równoważności mająca szesnaście klas abstrakcji, klasą abstrakcji każdej
drużyny x jest {x}.
Czy istnieją inne możliwe zakończenia rozgrywek dla których R jest relacją równoważności?
Zadanie 2. Rozważamy zwrotną i symetryczną relację znajomości między ludźmi. Czy na
zbiorze n ludzi (n>2) istnieje relacja znajomości dla której każdy ma inną liczbę znajomych.
Czy taka relacja może być dodatkowo relacją równoważności?
Zadanie 3. Gracze A, B, C mają talię kart złożona z trzech kart, na jednej jest liczba 1, na
drugiej liczba 2, na trzeciej liczba 3. Karty są tasowane, każdy otrzymuje jedną kartę i tylko
sam ma do niej wgląd. Załóżmy, że gracz C otrzymał kartę z liczbą 3. Wtedy publiczny
komunikat gracza A: nie mam karty z numerem 3 i publiczny komunikat gracza B: nie mam
karty z numerem 3 powoduje, że gracze A i B wiedzą kto ma jaką kartę , lecz gracz C nie
może tego wywnioskować. Czy istnieje taka strategia postępowania graczy A i B aby:
1) każdy z nich niezależnie od rozdania kart przez publiczne komunikaty i publiczny dialog
między graczami A i B wywnioskował jakie karty mają gracze A, B, C,
2) gracz C słuchając tych komunikatów i dyskusji nie mógł tego wywnioskować.
Zadanie 4. Zbiór X ma 13 elementów. Niech R jest relacją równoważności na X o tej
własności, że każda klasa abstrakcji ma tyle samo elementów. Niech S jest też relacją
równoważności na X o tej własności, że każda klasa abstrakcji ma tyle samo elementów.
Proszę pokazać, że R  S lub S  R.
Zadanie 5. Na zbiorze liczb rzeczywistych wprowadzamy relację równoważności: liczba x
jest w relacji z liczbą y, jeżeli odległość x do najbliższej liczby całkowitej jest równa
odległości y od najbliższej liczby całkowitej. Proszę znaleźć klasę abstrakcji dla 1/3.
Zadanie 6. Proszę pokazać, że relacja określona między punktami prostej:
punkt x jest w relacji z punktem y, jeżeli odległość między x i y jest wymierna ,
jest relacją równoważności?
Zadanie 7. Czy relacja określona na zbiorze punktów płaszczyzny:
punkt x jest w relacji z punktem y, jeżeli odległość między x i y jest wymierna,
jest relacją równoważności?
Zadanie 8. W zbiorze liczb całkowitych definiujemy relację T przyjmując, że liczba x jest w
relacji T z liczbą y gdy x-y jest podzielne przez 7. Proszę uzasadnić, że relacja T jest relacją
równoważności. Ile klas równoważności ma relacja T ?
Zadanie 9 . Proszę uzasadnić, że relacja R zachodząca między liczbami naturalnymi x i y gdy
x+y jest liczbą parzystą jest relacją równoważności. Ile klas równoważności ma relacja R?
Zadanie 10. Niech N={1, 2, 3, ... }, P(N)={Z: ZN}. W zbiorze P(N) wprowadzamy relację
R przyjmując, że XP(N) jest w relacji R z YP(N) gdy (X\Y)(Y\X) jest zbiorem
skończonym. Proszę uzasadnić, że relacja R jest relacją równoważności. Czy relacja R ma
skończoną czy nieskończoną liczbę klas równoważności?
Zadanie 11. Proszę zdefiniować:
a) jednoargumentową funkcje boolowską o tej własności, że zmiana dokładnie jednej
wartości jednego z argumentów powoduje zawsze zmianę wartości funkcji,
b) dwuargumentową funkcje boolowską o tej własności, że zmiana dokładnie jednej wartości
jednego z argumentów powoduje zawsze zmianę wartości funkcji,
c) trójargumentową funkcje boolowską o tej własności, że zmiana dokładnie jednej wartości
jednego z argumentów powoduje zawsze zmianę wartości funkcji.
Zadanie 12. Ile jest trzyargumentowych funkcji boolowskich przyjmujących dwie różne
wartości ?
Zadanie 13. Ile jest n-argumentowych funkcji boolowskich przyjmujących dwie różne
wartości ?
Zadanie 14. Przez f oznaczmy funkcję która parze (x,y){0,1}{0,1} przyporządkowuje
iloczyn xy. Proszę uzasadnić, że jest to funkcja boolowska. Jaka formuła rachunku zdań
odpowiada funkcji f ?
Zadanie 15. Przez f oznaczmy funkcję która parze (x,y){0,1}{0,1}przyporządkowuje 0
gdy x+y jest parzyste i 1 gdy x+y jest nieparzyste. Jaka formuła rachunku zdań odpowiada
funkcji boolowskiej f ?
Plik z zadaniami dostępny jest pod adresem:
http://www.cyf-kr.edu.pl/~rttyszka/equivalence.doc