Lista 10 -Chińskie twierdzenie o resztach 1. Rozwiąż układ

Lista 10 -Chińskie twierdzenie o resztach
1. Rozwiąż układ kongruencji:
a) x ≡ 1 mod 3, x ≡ 2 mod 5, x ≡ 3 mod 7;
b) 2x ≡ 1 mod 5, 3x ≡ 9 mod 6, 4x ≡ 1 mod 7, 5x ≡ 9 mod 11.
2. Gdy z koszyka wyjmujemy każdorazowo 2 jajka zostaje w nim jedno. Podobnie,
gdy każdorazowo wyjmujemy 3, 4, 5 albo 6 jajek. Gdy wyjmujemy po 7 jajek,
koszyk w końcu okazuje się pusty. Znajdź minimalna liczbę jajek w koszyku.
3. Banda 17 piratów zdobyła worek jednakowych złotych monet. Przy próbie podziału po równo zostały 3 monety. Rozgorzał spór, w wyniku którego jeden z
piratów stracił życie. Podjęto kolejną próbę podziału, ale tym razem zostało 10
monet. I znów doszło do zaciętej polemiki, po której liczba piratów zmalała do
15. Teraz już równy podział nie stwarzał matematycznych problemów. Znajdź
minimalną liczbę monet.
4. Rozwiąż układ kongruencji
5x + 3y ≡ 1 mod 7, 7x + 3y ≡ mod11.
5. Pokryciem N nazywamy zbiór kongruencji liniowych takich, że każda liczba naturalna jest rozwiązaniem jednej z nich. Sprawdź, czy układ
x ≡ 0 mod 2,
x ≡ 0 mod 3,
x ≡ 1 mod 4,
x ≡ 5 mod 6,
x ≡ 7 mod 12.
6. Pokaż, jak wywnioskować z CTR, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
7. Niech
Mi = (M/mi )ϕ(mi ) .
Uzasadnij, że Mi ≡ 1 mod mi i wyprowadź stąd nowy dowód CTR.
8. * Znajdź logarytm dyskretny modulo 1009 przy podstawie 11 z liczby 107. Oczywiście nie można korzystać z czystego potęgowania (po 1008 krokach na pewno
się ten logarytm znajdzie).
9. ** Pokrycie N (p. zad. 5) nazywamy dokładnym, gdy każda liczba jest rozwiązaniem tylko jednej kongruencji. Wykaż, że w pokryciu dokładnym dwa największe
moduły są równe.