Kongruencja, czyli

matematyka...
...na co to komu?
Kongruencja
czyli
przystawanie liczb "modulo n".
Liczby całkowite a i b przystają modulo n
(pozostają w kongruencji modulo n), co zapisuje się:
a ≡b ( mod n) , jeżeli ich różnica a − b dzieli się bez
reszty przez n. Równoważnie: jeśli liczby a i b dają
w dzieleniu przez n tę samą resztę.
a ≡b ( mod n)  n│(a-b)
Kongruencje o tym samym module można dodawać
stronami, odejmować stronami i mnożyć stronami.
Przykład
Liczby 5 i 11 przystają modulo 3:
11 ≡ 5 (mod 3)
ponieważ ich różnica, czyli 6, dzieli się bez
reszty przez 3. Równoważnie, w dzieleniu z
resztą obu liczb przez 3 otrzymujemy tę
samą resztę 2:
11 : 3 = 3 reszta 2
5 : 3 = 1 reszta 2
Zadanie
Wykaż, że liczba 5353 – 3333 jest podzielna przez 10.
10 │ 5353 – 3333 ?
53 ≡ 3 (mod 10)
532 ≡ 9 ≡ -1 (mod 10)
(532)26 ≡ 926 ≡ (-1)26 ≡ 1 (mod 10)
5352 ≡ 1 (mod 10)
5353 ≡ 3 (mod 10)
33 ≡ 3 (mod 10)
332 ≡ 9 ≡ -1 (mod 10)
(332)16 ≡ 916 ≡ (-1)16 ≡ 1 (mod 10)
3332 ≡ 1 (mod 10)
3333 ≡ 3 (mod 10)
5353 ≡ 3333 (mod 10), co świadczy o tym, że liczba 5353 – 3333 jest
podzielna przez 10.
Dni tygodnia
Zajmiemy się odpowiedzią na pytanie, w jakim dniu
tygodnia miało miejsce pewne wydarzenie.
Ponumerujmy dni tygodnia:
1 – poniedziałek
2 – wtorek
3 – środa
4 – czwartek
5 – piątek
6 – sobota
0 ≡ 7 – niedziela
Po upływie n dni od danej daty wypada dzień tygodnia, którego
numer przystaje do d + n modulo 7.
O tym, co powiedzieć w tym
wystąpieniu, zaczęłam myśleć w
czwartek 17 września roku
ubiegłego. Tego dnia przypadała
70-ta rocznica wkroczenia wojsk
sowieckich do Polski.
W jakim dniu tygodnia miało
miejsce to wydarzenie ?
Rok zwykły ma 365 dni, przy czym
365 = 350 + 14 + 1, więc
365 ≡ 1 (mod 7).
Wynika stąd, że po upływie roku zwykłego
wypada dzień tygodnia
o 1 (modulo 7) dalszy, niż przed rokiem.
Rok przestępny ma o jeden dzień
więcej, niż rok zwykły, wiec po upływie
roku przestępnego numer dnia tygodnia
wzrasta o 2 (modulo 7).
Od tragicznej daty 17 września 1939 do
czwartku 17 września 2009 r. minęło 70 lat,
w tym 18 lat przestępnych
(przed 10 laty była 60 - ta rocznica,
60 : 4 = 15, wiec do 1999 minęło 15 lat
przestępnych, a potem jeszcze były lata
przestępne 2000, 2004, 2008).
Zatem numer n interesującego nas dnia spełnia
kongruencje: n ≡ 4 − 70 − 18(mod 7).
Stąd n ≡ −14 (mod 7). Ta tragiczna data
wypadała w niedzielę.
Reszty kwadratowe
Reszty kwadratowe, to reszty, które
występują przy dzieleniu kwadratów
liczb.
Np. reszty przy dzieleniu przez liczbę 9
to liczby ze zbioru {0,1,2,3,4,5,6,7,8}.
Natomiast reszty kwadratowe przy
dzieleniu liczby przez 9 to liczby ze
zbioru {0,1,4,7}. Nie występują tu
reszty takie jak 2,3,5,6,8.
Reszty kwadratowe można wykorzystać do rozwiązania
zadania z tegorocznej matury na poziomie rozszerzonym.
Oto treść:
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach
symetryczną sześcienną kostką do gry suma
kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna
przez 3.
Wykorzystujemy tutaj podzielność przez 3. W dzieleniu przez 3
występują liczby {0,1,2}.
W tym zadaniu autorzy pytają jednak o kwadraty tych liczb. Reszty
kwadratowe przy dzieleniu przez 3 to tylko {0,1}
Przyjmijmy, więc że reszta z dzielenia kwadratu sumy oczek
pierwszego rzutu to a, drugiego to b, trzeciego to c.
Aby suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek była podzielna przez
3 to
a=1
a=0
b=1
lub
b=0
c=1
c=0
Teoria grafów
Grafy
• Graf to – w uproszczeniu – zbiór wierzchołków, które mogą
być połączone krawędziami, w taki sposób, że każda krawędź
kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków (ilustracja
poniżej). Grafy to podstawowy obiekt rozważań teorii grafów.
Grafy są bardzo
pomocne w wielu
zadaniach, a także
w codziennym
życiu. Rysując graf
możemy bardzo
ułatwić sobie pracę
nad problemem.
Zadanie 1.
W jednym przedziale pociągu jechało czterech
pasażerów. Wśród nich nie było trzech
pasażerów, którzy znaliby się wcześniej, ale
jeden znał się z trzema pozostałymi. Udowodnić,
że trzej pozostali pasażerowie nie znali się
wcześniej
Z pozoru trudne zadanie. Spróbujmy
jednak rozrysować je w postaci grafu.
Oznaczmy pasażerów za pomocą
punktów: A, B, C i D. Znających się
ze sobą połączmy odcinkami. Niech
pasażer A zna się ze wszystkimi.
Wtedy w grafie na pewno są
krawędzie AB, AC, AD. Jeżeli któryś
z punktów B, C, D jest połączony
odcinkiem, to wtedy mamy trójkąt, a
to znaczy, że istnieją trzej
pasażerowie, którzy znaliby się
wcześniej. Z tego wynika, że
pasażerowie B, C, D widzieli się po
raz pierwszy.
Grafy unikursalne
Graf jest unikursalny wtedy i
tylko wtedy, gdy:
•Nie ma w ogóle nieparzystych
wierzchołków,
•Ma dokładnie 2 nieparzyste
wierzchołki.
Znana wszystkim łamigłówka…
Legenda głosi, że prorok Mahomet zamiast podpisu (nie
umiał pisać) rysował jednym pociągnięciem znak składający
się z dwóch symboli Księżyca.
Dlatego figurę tę nazywamy Symbolem Mahometa.
Spróbujmy za pomocą grafu zrozumieć, jak można narysować Symbol
Mahometa jednym ruchem pióra. Ponumerujmy najpierw 8
wierzchołków tego symbolu.
Linie tej figury, łączące odpowiednie wierzchołki, będziemy traktować
jako krawędzie grafu.
Łatwo teraz pokazać możliwy sposób narysowania Symbolu Mahometa, np.
taki: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 2, 4, 6, 8, 1.
Teoria grafów jest jedną z niewielu
dziedzin matematyki, której datę
urodzin znamy. W 1736 roku
znakomity matematyk szwajcarski
Leonard Euler (1707-1783)
pracujący wówczas w Królewcu
(mieście należącym ówcześnie do
Prus, obecnie noszącym nazwę
Kaliningrad i należącym do Rosji),
opublikował pracę, w której
rozważał niżej przedstawiony
problem, znany powszechnie pod
nazwą „zadanie o królewieckich
mostach”.
W Królewcu, na rzece Pregole znajdują się dwie
wyspy połączone ze sobą, a także z brzegami za
pomocą siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek:
Czy możliwe jest, aby wyruszyć z dowolnej
lądowej części miasta przejść przez każdy z
mostów dokładnie jeden raz i powrócić do punktu
wyjściowego (bez przepływania przez rzekę)?
Sytuacje tę można przedstawić jako graf o
wielokrotnych krawędziach:
Euler pokazał, że nie istnieje rozwiązanie tego zadania (jeśli
wejdzie się po raz trzeci na wyspę, nie ma jak z niej wyjść). Trzeba
w tym grafie znaleźć cykl Eulera, czyli cykl przechodzący przez
wszystkie wierzchołki i wszystkie krawędzie tego grafu, ale przez
każdą krawędź tylko raz, co jest możliwe, gdy każdy jego
wierzchołek ma parzysty stopień. Graf w postawionym problemie
nie spełnia tego warunku.
Problem chińskiego listonosza
Dlaczego listonosza ?
W swojej pracy, listonosz wyrusza z poczty, dostarcza przesyłki adresatom,
by na końcu powrócić na pocztę. Aby wykonać swoją pracę musi przejść po
każdej ulicy w swoim rejonie co najmniej raz. Oczywiście chciałby, aby
droga, którą przebędzie, była możliwie najkrótsza.
Dlaczego chińskiego ?
Problem ten został sformułowany po raz pierwszy w języku teorii grafów
przez chińskiego matematyka Mei Ku Kwana w 1962 roku.
Sformułowanie problemu.
Rozważmy graf, którego krawędzie odpowiadają ulicom w rejonie,
obsługiwanym przez listonosza. Wierzchołki to po prostu skrzyżowania
ulic. Krawędziom nadajemy wagi, które oznaczają odległości między
dwoma skrzyżowaniami. Znalezienie możliwie najkrótszej drogi, którą musi
przejść listonosz sprowadza się do znalezienia w tym grafie drogi o
minimalnej sumie wag krawędzi, która przechodzi przez każdą krawędź co
najmniej raz.
Jeśli graf posiada cykl Eulera.
Jeśli dany graf posiada cykl Eulera, to istnieje taka droga, która zaczyna i kończy się w
tym samym punkcie i wymaga przejścia po każdej ulicy dokładnie raz. Zauważmy, że
ponieważ każdy cykl Eulera przechodzi raz przez każdą krawędź to suma wag
krawędzi (długość drogi, którą musi przejść listonosz) jest zawsze taka sama (nie
zależy od wierzchołka, w którym cykl ten zaczyna się i kończy). Rozwiązaniem jest
więc dowolny cykl Eulera w tym grafie.
Jeśli graf nie posiada cyklu Eulera.
W takim przypadku listonosz będzie zmuszony przejść niektórymi
ulicami wielokrotnie.
Przybliżenia
Jakie jest pole kwadratowej działki
zaznaczonej na mapie obok obok
kolorem niebieskim?
Obliczamy pole działki:
Przyjmujemy przybliżenie:
Korzystamy z wzoru:
Test przeprowadzono na 10 000 osób.
Osoby zdrowe: 9800 osób
Wynik pozytywny testu u 8%.
Osoby zdrowe z testem
pozytywnym: 784
Osoby chore: 200 osób
Wynik pozytywny testu u 99%.
Osoby chore z testem
pozytywnym: 198
Łącznie osób z testem pozytywnym
(stwierdzającym chorobę): 982, w tym
chorych: 198, czyli 20,2%