Matematyka - Teoria liczb z elementami kryptografii Lista 1

Matematyka - Teoria liczb z elementami kryptografii
Lista 1 -Algorytm Euklidesa i ułamki łańcuchowe
1. Znajdź największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność liczb:
a) 2711, 451; b) 121121, 1002.
2. Korzystając z odwrotnego algorytmu Euklidesa przedstaw największy wspólny dzielnik podanych liczb jako ich całkowitą kombinację:
a) 144 i 169; b) 286 i 169.
3. Przedstaw w postaci ułamka łańcuchowego:
√
√
a) 355/113; b) 55/34; c) 10; d) 11.
4. Co to za liczba:
a) [2, 2];
b) [2, 1, 1, 1, 4];
c) [5, 2, 1, 1, 2, 10];
d) [1, 3, 1]?
.....................................................................
5. Znajdź największy wspólny dzielnik liczb:
a) 111111111 oraz 111111111 ;
b) 111111111 oraz 111111111 .
6. Czy można wyznaczyć liczby a oraz b, znając ich największy wspólny oraz ich
najmniejszą wspólną wielokrotność?
7. Scharakteryzuj liczby wymierne, których rozwinięcie w ułamek łańcuchowy składa się z samych jedynek.
8. Udowodnij,
że każda liczba mająca okresowe rozwinięcie łańcuchowe ma postać
√
a + b d, gdzie a, b, d ∈ Q.
9. Udowodnij, że pośród 101 liczb naturalnych z przedziału [1, 200] znajdą się:
a) dwie względnie pierwsze;
b) dwie takie, że jedna z nich dzieli drugą.
10. Wykaż, że prawie wszystkie liczby naturalne dadzą się przedstawić w postaci
całkowitej nieujemnej kombinacji liczb 6, 10 i 15.
11. Załóżmy, że największym wspólnym dzielnikiem liczb a1 , a2 , . . . , ak jest 1. Wykaż, że prawie wszystkie liczby naturalne dadzą się przedstawić w postaci ich
całkowitej nieujemnej kombinacji.
Lista 2 -Liczby pierwsze
1. Korzystając z sita Eratostenesa znajdź wszystkie liczby pierwsze pomiędzy 100
a 200.
2. Znajdź:
a) wszystkie liczby pierwsze pomiędzy 1000 a 1010;
b) największa liczbę pierwszą poniżej 1000.
3. Hipoteza Goldbacha głosi, że każda liczba parzysta większa od 4 jest sumą dwu
liczb pierwszych.
a) Sprawdź hipotezę Goldbacha dla liczb parzystych pomiędzy 100 a 120.
b) Sprawdź ją dla 1000.
c) Pokaż, że z hipotezy Goldbacha wynika, że każda liczba nieparzysta większa
od 5 jest sumą trzech liczb pierwszych.
4. Analizując dowód Euklidesa wykaż, że n-ta liczba pierwsza spełnia nierówność
n
pn < 22 .
n
Wywnioskuj stąd, ze poniżej 22 jest przynajmniej n + 1 liczb pierwszych.
5. Znajdź wszystkie ciągi arytmetyczne postaci p, p + 2, p + 4 złożone z liczb pierwszych.
6. Pokaż, że dla dowolnego n istnieje ciąg n kolejnych liczb złożonych.
7. Znajdź ośmiowyrazowy ciąg liczb pierwszych.
8. Czy istnieje nieskończony ciąg arytmetyczny złożony z liczb pierwszych?
.................................
n
9. Liczbami Fermata nazywamy liczby postaci Fn = 22 + 1.
a) Znajdź wzór na F0 F1 ...Fn .
b) Wykaż, że liczby Fermata są parami względnie pierwsze.
c) Wyprowadź stąd kolejny dowód istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych.
10. Dokończ poniższy dowód Stieltjesa (1890) istnienia nieskończenie wielu liczb
pierwszych.
”Załóżmy, że istnieje tylko skończenie wiele liczb pierwszych p1 , p2 , ..., pn . Podzielmy ten zbiór na dwie niepuste części. Niech a będzie iloczynem liczb pierwszych należących do jednej z tych części, b - drugiej. Rozważmy m = a + b....”
11. Niech pn oznacza n-ta liczbę pierwszą. Pokaż, że dla nieskończenie wielu n zachodzi nierówność pn < n2 .
12. Czy istnieje 10-wyrazowy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych złożony z liczb
mniejszych niż 1000?
13. Ciało nazywamy algebraicznie domkniętym, jeżeli każdy wielomian o współczynnikach z tego ciała różny od stałej ma w nim pierwiastek. Wykaż, że ciało
skończone nie może być algebraicznie domknięte.
Lista 3 -Kongruencje, MTF i twierdzenie Wilsona
1. Oblicz: a) 10−1 mod 111; b) 51−1 mod 169; c) 1000−1 mod 1003.
2. Oblicz odwrotność 11 mod 257 na dwa sposoby:
a) za pomocą algorytmu Euklidesa; b) za pomocą MTF.
3. Rozwiąż kongruencję 119x + 31 ≡ 191x mod 625.
4. Wykaż, że
2340 ≡ 1 mod 341,
chociaż 341 jest liczbą złożoną.
5. Korzystając z twierdzenia Wilsona znajdź resztę z dzilenia przez 101 liczby:
a) 100!; b) 99!.
6. Udowodnij MTF dla dodatnich a korzystając z indukcji matematycznej i wzoru
Newtona.
7. Udowodnij, że dla liczb pierwszych p zachodzi (p − 2)! ≡ 1 mod p.
8. Podaj piątą kartę w sztuczce z kartami, gdy pierwszymi czterema były kolejno:
a) as pik, król pik, dama pik, walet pik;
b) dama pik, trójka pik, siódemka pik i as pik.
9. Czy w sztuczce z kartami każda czwórka kart da się odkodować?
10. Jakie wartości przyjmuje funkcja f (n) = (n − 1)! mod n?
.................................................
11. Wykaż, że la nieparzystej liczby pierwszej p zachodzą kongruencje:
a) 12 · 32 · 52 · . . . · (p − 2)2 ≡ (−1)
b) 22 · 42 ]6̇2 · . . . · (p − 1)2 ≡ (−1)
p+1
2
p+1
2
mod p;
mod p.
12. Wykaż, że liczba 561 jest liczbą Carmichaela, tzn. dla dowolnego a względnie
pierwszego z 561 zachodzi kongruencja
aφ(561) ≡ 1 mod 561.
Wykaż, iż takze liczba 41041 jest liczbą Carmichaela.
13. Wykaż, że potęga liczby pierwszej nie jest liczbą Carmichaela.
14. Wykaż, że żadna liczba parzysta nie jest liczbą Carmichaela.
15. Wykaż, że każda liczba Carmichaela ma przynajmniej trzy dzielniki pierwsze,
Lista 4 -Twierdzenie Eulera i pierwiastki pierwotne
1. Oblicz ϕ(n) dla: a) n = 1001; b) 111111; c) 555555; d) 10011001 .
2. Wyraź ϕ(666) za pomocą samych szóstek.
3. Znajdź wszystkie pierwiastki pierwotne w Z11 .
4. Czy istnieje pierwiastek pierwotny dla: a) n = 12; b) 18; c) 27?
5. Znajdź jakikolwiek pierwiastek w Z29 . Korzystając z niego znajdź wszystkie pozostałe pierwiastki pierwotne modulo 29.
6. Ile jest pierwiastków pierwotnych w Z73 ?
7. Wykaż, że jeśli r jest pierwiastkiem pierwotnym dla liczby pierwszej p, to
r
p−1
2
≡ −1 mod p.
..............................................................
8. Jaki zachodzi związek pomiędzy ϕ(2n) a ϕ(n)?
9. Wykaż, że równanie ϕ(n) = n/3 ma nieskończenie wiele rozwiązań.
10. Czy równanie ϕ(n) = 14 ma rozwiązanie?
11. Wykaż, że jedyną nieparzystą wartością funkcji Eulera jest liczba 1.
12. Uzupełnij dowód twierdzenia Wilsona: „Niech r będzie pierwiastkiem pierwotnym modulo p. Wówczas
(p − 1)! ≡ modp r1+2+...+(p−1) ...00
13. Korzystajac z twierdzenie Eulera wykaż, jeśli n jest liczbą nieparzystą niepodzielną przez 5, to pewna jej krotność ma zapis złożony z samych jedynek.
Uwaga: Podobny wynik można uzyskać za pomocą zasady szufladkowej. Porównaj obydwa wyniki.
14. Niech p będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Wykaż, że suma
1n + 2n + ... + (p − 1)n
jest równa 0 bądź −1.
Wsk. Jeżeli p − 1 nie dzieli n, a r jest pierwiastkiem pierwotnym dla p, to żądana
suma modulo p jest równa
1 + rn + r2n + . . . + r(p−2)n .
15. Uzasadnij, że dla liczb pierwszych p długość okresu w rozwinięciu dziesiętnym
liczby 1/p jest dzielnikiem liczby p − 1.
16. Wykaż, że jeśli Fp jest liczbą pierwszą Fermata, to 2 nie jest pierwiastkiem
pierwotnym dla Fp .
17. Znajdź kres górny i kres dolny zbioru liczb postaci ϕ(n)/n.
Lista 5 -Chińskie twierdzenie o resztach
1. Rozwiąż układ kongruencji:
a) x ≡ 1 mod 3, x ≡ 2 mod 5, x ≡ 3 mod 7;
b) 2x ≡ 1 mod 5, 3x ≡ 9 mod 6, 4x ≡ 1 mod 7, 5x ≡ 9 mod 11.
2. Pewna liczba z przedziału [1, 1200] daje przy dzieleniu przez 9, 11, 13 resztę
odpowiednio 1, 2, 6. Co to za liczba?
3. Ile rozwiązań modulo 60 ma układ kongruencji:
a) x ≡ 5 mod 6, x ≡ 4 mod 10;
b) x ≡ 5 mod 6, x ≡ 7 mod 10.
Dlaczego otrzymane wyniki nie przeczą CTR?
4. Gdy z koszyka wyjmujemy każdorazowo 2 jajka zostaje w nim jedno. Podobnie,
gdy każdorazowo wyjmujemy 3, 4, 5 albo 6 jajek. Gdy wyjmujemy po 7 jajek,
koszyk w końcu okazuje się pusty. Znajdź minimalna liczbę jajek w koszyku.
5. Banda 17 piratów zdobyła worek jednakowych złotych monet. Przy próbie podziału po równo zostały 3 monety. Rozgorzał spór, w wyniku którego jeden z
piratów stracił życie. Podjęto kolejną próbę podziału, ale tym razem zostało 10
monet. I znów doszło do zaciętej polemiki, po której liczba piratów zmalała do
15. Teraz już równy podział nie stwarzał matematycznych problemów. Znajdź
minimalną liczbę monet.
6. Rozwiąż układ kongruencji
5x + 3y ≡ 1 mod 7, 7x + 3y ≡ mod11.
.......................................................
7. Pokaż, jak wywnioskować z CTR, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
8. Niech
Mi = (M/mi )ϕ(mi ) .
Uzasadnij, że Mi ≡ 1 mod mi i wyprowadź stąd nowy dowód CTR.
Lista 6 -RSA i inne protokoły kryptograficzne
1. Znajdź logarytm dyskretny modulo 23, przy podstawie 2 z liczby 13.
2. W celu uzgodnienia klucza Ala i Bob uzgodnili liczby p = 37 oraz g = 2 Ala
przesłała Bobowi liczbę 27, Bob Ali 17. Znajdź uzgodniony klucz.
3. Rozważmy RSA dla n = 143, e = 7.
a) Wyślij do Ali wiadomość m = 100.
b) Znajdź klucz tajny d.
c) Pokaż rachunki, jakie trzeba przeprowadzić dla odszyfrowania wiadomości.
4. Rozłóż n = 35143 na czynniki wiedząc, że jest ona iloczynem dwu liczb pierwszych, a φ(n) = 34720.
5. Zbadaj pierwszość/złożoność następujących liczb za pomocą algorytmu MilleraRabina. Tam, gdzie to potrzebne przeprowadź przynajmniej 2 testy:
a) 45; b) 65; c) 31; d) 41.
6. W kryptosystemie El Gamala Ala wybiera liczbę pierwsza p = 31 i najmniejszy
pierwiastek pierwotny. Jako swój klucz prywatny wybrała liczbę 13. Bartek chcąc
wysłać jej wiadomość wysyła jej:
c1 = 19,
c2 = 8.
a) Znajdź klucz jawny Ali, klucz efemeryczny Bartka i przesyłaną wiadomość.
b) Ustalmy p, pierwiastek pierwotny g, klucz tajny Ali a oraz efemeryczny Bartka
k. Czy dowolna para liczb c1 , c2 ) mniejszych od liczby pierwszej p odpowiada
jakiemuś przekazowi?
..............................................................
7. Bartek, aby wysłać wiadomość m do Ali może wysłać eA (m), gdzie eA — klucz
jawny Ali. Jednak zdecydował się na wysłanie dwu wiadomości: eA (m) oraz
dB (m). Czemu to służy?
8. Ala buduje szyfr plecakowy przyjmując za ciąg superrosnący 1, 3, 7, 15, 31,
70, a ponadto n = 200, a = 31.
a) Podaj ciąg liczb stanowiących publiczny klucz Ali.
b) Wyślij do niej wiadomość 100010 000010.
c) Pokaż rachunki, jakie musi wykonać Ala, aby odczytać przekaz.
Lista 7 -Faktoryzacja
1. Rozłóż 525647 na czynniki wiedząc, że 525647 = 7442 − 1672 .
2. Rozłóż na czynniki za pomocą algorytmu Fermata:
a) 8858; b) 53357; c) 34571.
Uwaga: Można wykorzystywać kalkulator z tablicowaniem funkcji, ale nie możesz
stosować próbnego dzielenia.
3. Korzystając z równości 302 ≡ 49 mod 851 rozłóż liczbę 851 na czynniki.
4. Obliczając x2 mod 1121 rozłóż 1121 na czynniki.
5. Znajdź nietrywialny dzielnik liczby 3157 korzystając z kongruencji 182 ≡
592 mod 3157.
6. Czy z danych 412 ≡ 24 · 3, 432 ≡ 23 · 33 , 452 ≡ 23 · 72 mod 1633 można
wywnioskować rozkład 1633 na czynniki?
7. Znajdź nietrywialny dzielnik N za pomocą algorytmu Dixona wykorzystując
podane informacje:
a) N = 61063,
18822 ≡ 2 · 33 · 5 mod 61063,
18982 ≡ 60750 mod 61063.
b) N = 52097,
3992 ≡ 22 · 3 · 5 mod 52907, 7632 ≡ 26 · 3 mod 52907,
7732 ≡ 26 · 35 mod 52907,
9762 ≡ 2 · 53 mod 52907.
8. Rozłóż za pomocą ρ-Pollarda: a) 221. b) 3959.
9. Metodą p − 1 Pollarda znajdź nietrywialny dzielnik liczby: a) 77; b) 247; c) 7991.
10. *. Wyjaśnij, dlaczego w algorytmie ρ-Pollarda można zakładać, że odpowiednia
para ma postać x2i − xi .
Lista 8 -Rozmieszczenie liczb pierwszych
1. Twierdzenie Dirichleta głosi, że jeżeli liczby naturalne a, r sa względnie pierwsze,
to istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci a + nr. Korzystając z
twierdzenia Dirichleta wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych:
a) postaci 1805 + 1859n; b) kończących się układem 333.
2. Wykaż, że jeżeli jakiś ciąg arytmetyczny nieskończony o wyrazach naturalnych
zawiera dwie liczby pierwsze, to zawiera ich nieskończenie wiele.
3. Twierdzenie Czebyszewa głosi, że pomiędzy n a 2n jest liczba pierwsza. Korzystając z twierdzenia Czebyszewa pokaż, że pn < 2n .
4. Udowodnij twierdzenie Czebyszewa dla n ¬ 1 000 000.
Uwaga: Możesz korzystać z dostępnych tablic liczb pierwszych, ale sam dowód
musi być dość krótki.
5. Czebyszew wykazał, że 0, 89n/ ln n < π(n) < 1, 11n/ ln n.
a) Wykaż, że z oszacowania tego wynika twierdzenie Czebyszewa.
b) Czy z oszacowania podanego na wykładzie wynika, że dla prawie wszystkich
n istnieje liczba pierwsza pomiędzy n a 3n?
6. Korzystając z twierdzenia o rozmieszczeniu liczb pierwszych wykaż, że twierdzenie Czebyszewa zachodzi dla prawie wszystkich n.
7. Wykaż, że funkcja π(x) jest asymptotycznie równa logarytmowi całkowemu
Li(x) =
Z x
1
dt
.
ln t
8. Ustawmy liczby 1, 2, ... n2 w tablicę
1
n+1
2n + 1
...
(n − 1)n + 1
2
n+2
2n + 2
...
(n − 1)n + 2
3
... n
n+3
... 2n
2n + 3
... 3n
...
... ...
(n − 1)n + 3 ... n2
Hipoteza Sierpińskiego głosi, że dla n ­ 2 w każdym wierszu takiej tablicy występuje przynajmniej jedna liczba pierwsza. Wykaż, że z hipotezy Sierpińskiego
wynika:
a) twierdzenie Czebyszewa;
b) hipoteza Legendre’a: pomiędzy kolejnymi kwadratami występuje liczba pierwsza.
c) hipoteza głoszącą, że pomiędzy kolejnymi sześcianami są przynajmniej dwie
liczby pierwsze.
9. * Wykaż, że dla n ­ 2 zbiór liczb 1, 2, ..., 2n można zawsze rozbić na n par
takich, że suma każdej pary jest liczbą pierwszą? Np. dla n = 2 mamy 1-4, 2-3,
dla n = 3 mamy 1-6, 2-5, 3-4, a dla n = 4 1-6, 2-5, 3-8, 4-7.
Lista 9 - Twierdzenie Lagrange’a
1. Przedstaw w postaci sumy czterech kwadratów liczb naturalnych liczby:
a) 19; b) 21; c) 399; d) 399399.
2. * Nie wykonując pełnych rachunków sprawdź, że
702 = 12 + 22 + . . . + 242 .
3. Pokaż, że nie da się przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów liczby postaci
8k + 7;
4. Przedstaw liczbę 454 w postaci sumy ośmiu sześcianów. Przypuszcza się, że każdą
większą od niej można przedstawić w postaci 7 sześcianów.
5. Zgodnie z twierdzeniem Waringa-Hilberta dla każdej liczby naturalnej k istnieje
liczba g(k) taka, że dowolna liczba naturalna da się przedstawić w postaci g(k)
k-tych potęg. Pokaż, że:
a) g(2) = 4;
b) g(3) ­ 9;
c)* g(k) ­ [(3/2)k ] + 2k − 2.
6. * Wykaż, że dla dowolnego n liczba n lub 2n daje się przedstawić w postaci sumy
trzech kwadratów.
Lista 10 -Równania diofantyczne
1. Pokaż, że równanie x2 + y 2 = 2x + 4y + 5 nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych. Dla jakich k równanie (x2 + y 2 = 2x + 4y + k ma rozwiązania w liczbach
całkowitych?
2. Przypuszcza się, że istnieje tylko jedna para nietrywialnych potęg złożona z kolejnych liczb naturalnych. Znajdź tę parę.
√
3. Korzystając z WTF wykaż, że√3 2 jest liczbą niewymierną. Czy potrafisz wykazać
w ten sposób niewymierność 3 3? Lub inne nieoczywiste modyfikacje.
4. Fermat wykazał, że x4 + y 4 =√
z 2 nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach naturalnych. Wywnioskuj stąd, że 2 jest liczbą niewymierną.
5. Każda z dwu urn zawiera tę samą liczbę kul, część z nich biała, część czarna. Z
każdej z tych urn losujemy n krotnie ze zwracaniem jedna kulę.
a) Pokaż, że przy n = 2 można tak dobrać zawartości urn, aby prawdopdobieństwo, iż wszystkie kule wyciągnięte z I urny są białe było równe prawdopodobieństwu, że wszystkie kule wylosowane z II urny mają ten sam kolor (wszystkie
czarne albo wszystkie białe).
b) Czy można to osiągnąć przy n > 2?
6. * Pokaż, ze równanie x2 + y 2 = z 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach
całkowitych.
7. Wiemy, że sześcian dodatniej liczby naturalnej nie jest sumą sześcianów dodatnich liczb naturalnych. Ale:
a) 63 da się przedstawić jako suma trzech sześcianów:
b) 54 jest sumą pięciu czwartych potęg:
c)* 3534 jest sumą czterech czwartych potęg.
Wsk.: 3534 = x4 + y 4 + 2724 + 3154 .
8. Znajdź minimalne nietrywialne rozwiązanie równań x2 − ny 2 = 1 dla n ¬ 20.
9. ** Udowodnij, że zbiór dodatnich wartości wielomianu
2y − x4 y − 2x3 y 2 + x2 y 3 + 2xy 4 − y 5
pokrywa się ze zbiorem liczb Fibonacciego.