Szkolny konkurs matematyczny

Szkolny konkurs matematyczny
„TORUS”
Zestaw zadań nr 3
do 31 stycznia 2013
Zadanie 1.
Znajdź taką liczbę dwucyfrową, która spełnia koniunkcję warunków:
a) 2 cyfry dziesiątek jest o 5 większe od 1 cyfry jedności.
3
6
b) gdyby przestawić cyfry tej liczby, to stosunek liczby utworzonej
w ten sposób do liczby poszukiwanej byłby jak 1:1 9 .
23
Zadanie 2.
Udowodnij, że jeżeli z dwóch liczb naturalnych jedna przy dzieleniu
przez 3 daje resztę 1, a druga resztę 2, to ich iloczyn przy dzieleniu
przez 3 daje resztę 2.
Zadanie 3.
Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych, których największy wspólny
dzielnik wynosi 13, a najmniejsza wspólna wielokrotność równa się
2002.
Zadanie 4.
Wykaż, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych zwiększony
o liczbę środkową jest sześcianem liczby środkowej.
Zadanie 5.
W trójkącie równobocznym ABC dwusieczna kąta B i kąta C
przecinają się w punkcie O należącym do odcinka MN równoległego
do boku BC i takiego, że M należy do AB i N należy do AC.
Uzasadnij, że MN  MB  NC .