Wzory skróconego mnożenia, cechy podzielności, reszty z dzielenia

Wzory skróconego mnożenia, cechy podzielności, reszty z dzielenia
Wzory na potęgę sumy
(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
.......
=
=
=
=
=
1
a+b
a2 + 2ab + b2
a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
.................................
Współczynniki tworzą tak zwany trójkąt Pascala:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
1
5
10
10
5
1
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
Każdy wyraz jest sumą dwóch stojących ponad nim.
Wzory na różnicę potęg
a1 − b 1
a2 − b 2
a3 − b 3
a4 − b 4
a5 − b 5
.......
n
a − bn
.......
a−b
(a − b)(a + b)
(a − b)(a2 + ab + b2 )
(a − b)(a3 + a2 b + ab2 + b3 )
(a − b)(a4 + a3 b + a2 b2 + ab3 + b4 )
.................................
= (a − b)(an + an−1 b + . . . + abn−1 + bn )
.................................
=
=
=
=
=
Widoczny poniżej znak graficzny to tak zwana bomba. Oznacza zadanie do samodzielnego rozwiązania. Bombę “po rozbrojeniu” można przekreślić.
pp ppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppppp Sprawdź powyższe wzory.
ppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppppppppp
pppppppppppppppppppppp Korzystając z wzorów na potęgę sumy wyprowadź wzory na potęgę różnicy.
p p p pp
Wskazówka: a − b = a + (−b).
p ppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppppppppppppp Uzasadnij, że współczynniki we wzorach na potęgę sumy mają własność trójkąta
p p pppppppp pp
Pascala.
ppppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppppppppppp Uzasadnij, że dla n nieparzystego wyrażenie an + bn dzieli się przez a + b. Wskappp ppppppp p
zówka: a + b = a − (−b). Wypisz wzory dla a3 + b3 , a5 + b5 .
Cechy podzielności
FAKT 1. Suma i różnica liczb podzielnych przez 3 dzieli się przez 3.
Szkic dowodu. Zapisujemy liczby w postaci 3k, 3l (k, l całkowite) i mamy
3k + 3l = 3(k + l)
oraz
3k − 3l = 3(k − l) .
FAKT 2. Jeżeli suma cyfr liczby naturalnej dzieli się przez 3, to liczba jest podzielna
przez 3.
Szkic dowodu. Załóżmy, że liczba jest trzycyfrowa. Niech a bedzie cyfrą setek, b cyfrą
dziesiątek i c cyfrą jedności. Mamy
100a + 10b + c = (99a + 9b) + (a + b + c) = 3(33a + 3b) + (a + b + c) .
(1)
Uzyskaliśmy postać:
(coś podzielnego przez 3) + (suma cyfr) .
Ponieważ z założenia suma cyfr dzieli się przez 3, więc korzystając z Faktu 1 otrzymujemy wniosek nasza liczba także dzieli się przez 3.
pppp pppppppppp
pppppppppppppppppppppppppppppppppp Uzasadnij cechę podzielności przez 9. Czy rozumowanie uogólnia się na przypappp ppppppppppp
dek dowolnej liczby cyfr?
UWAGA 3 (o implikacji). Wszystkie stwierdzenia matematyczne mają postać implikacji (wynikania):
Jeżeli
coś
to
coś
.
Po lewej stronie implikacji umieszcza się założenia, a po prawej tezę twierdzenia.
Spójrzmy na twierdzenie Pitagorasa.
suma kwadratów
trójkąt
przyprostokątnych
to
Jeżeli jest
jest równa kwadratowi
prostokątny
przeciwprostokątnej
.
Do oznaczenia implikacji używa się w logice symbolu ⇒. Symbol jest dobrze dobrany
gdyż wyraźnie podkreśla jeden kierunek wynikania. Zawsze można zadać pytanie, czy
implikacja w drugą stronę jest również prawdziwa? Na przykład twierdzenie odwrotne
do twierdzenia Pitagorasa będzie miało postać:
kwadrat najdłuższego
boku w trójkącie
jeżeli
jest równy sumie kwadratów
pozostałych boków
trójkąt
to jest
prostokątny
.
Twierdzenie to jest prawdziwe ale jego dowód musi być osobno przeprowadzony. Łatwo
podać przykład implikacji prawdziwej tylko w jednym kierunku. Na przykład
liczba jest
Jeżeli podzielna
przez 4
to
jest ona
parzysta
.
Fakt 2 możemy zapisać w postaci implikacji
liczba jest
suma cyfr
Jeżeli jest podzielna to podzielna
przez 3
przez 3
.
Okazuje się, że w tym wypadku implikacja odwrotna także jest prawdziwa. Mamy
FAKT 4. Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 3, to suma jej cyfr także dzieli
się przez 3.
Szkic dowodu. Przekształcając wzór (1) otrzymamy
a + b + c = (100a + 10b + c) − 3(33a + 3b) .
Następnie korzystamy z drugiej części Faktu 1.
UWAGA 5. Jeżeli implikacje w obie strony są prawdziwe to mamy do czynienia
z tak zwaną równoważnością. Używa się wtedy zwrotu “wtedy i tylko wtedy” lub
symbolu równoważności ⇔. Możemy połączyć Fakty 2 i 4 w jeden
WNIOSEK 5. Liczba naturalna jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy
suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
Poniższy symbol oznacza “do zastanowienia się” i jest mniej rygorystyczny od
bomby.
p p p pp p p pp p p p
pppp pppp (Cecha podzielności przez 11). Liczba jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtep p pp p p p pp p p
?
dy, gdy liczba otrzymana przez naprzemienne dodawanie i odejmowanie kolejnych cyfr dzieli się przez 11.
Na przykład 9361 dzieli się przez 11 bo 9 − 3 + 6 − 1 = 11.
Działania na resztach z dzielenia - wstęp.
Dzielenie z resztą jest dobrze znane. Na przykład 17 : 5 = 3 reszty 2. To znaczy
17 = 5·3+2 i reszta jest mniejsza od dzielnika 5. Przy dzieleniu przez 5 możliwe reszty
to 0, 1, 2, 3, 4. Zauważmy jak rozłożone są te reszty dla kolejnych liczb naturalnych.
liczba
0
1
2
3
4
5
6
7
8
reszta
0
1
2
3
4
0
1
2
3
5k
?
5k + 1
9 10 11 12 13 14 . . .
4 0 1 2 3 4 ...
?
?
5k + 2
?
?
?
5k + 3
?
?
?
5k + 4
?
?
?
-
?
?
?
-
Liczby podzielne przez 5 mogą być zapisane w postaci 5k, gdzie k jest pewną liczbą
całkowitą. Liczby, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 1 zapisują się w postaci
5k + 1, następnie liczby dające resztę 2 w postaci 5k + 2, itd. W ten sposób zbiór
liczb całkowitych podzielony został na pięć klas. W jednej klasie są liczby, które przy
dzieleniu przez 5 dają tę samą resztę.
ppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppp ppppp Uzasadnij, że jeżeli dwie liczby dają przy dzieleniu przez 5 tę samą resztę, to
ppp ppppppppp
ich różnica dzieli się przez 5.
Zabawa Każdy pisze sześć liczb całkowitych. Okazuje się, że zawsze można wskazać
dwie spośród nich, aby ich różnica dzieliła się przez 5.
Dowód. Każda z sześciu liczb daje przy dzieleniu przez 5 jedną z reszt 0, 1, 2, 3, 4.
Ponieważ możliwych reszt jest pięć, a liczb sześć, więc zawsze jakaś reszta musi się
powtórzyć. Następnie korzystamy z rozumowania poprzedzającego zabawę.
W powyższym dowodzie korzystamy ze słynnej zasady szufladkowej Dirichleta.
FAKT 6 (zasada szufladkowa). Rozmieszczamy piłki w szufladach. Jeżeli liczba piłek
jest większa od liczby szuflad, to istnieje szuflada, w której są przynakmniej dwie piłki .
Dla przykładu weźmy sześć liczb tak jak w zabawie: 11, 14, 22, 3, 6, 7. Liczby są
piłkami, zaś szuflady numerujemy według reszt. Dla każdej z liczb obliczamy resztę
z dzielenia przez 5 i wkładamy do odpowiedniej szuflady.
11
6
22
7
3
14
0
1
2
3
4
Różnica liczb z tej samej szuflady jest zawsze podzielna przez 5.
Komentarz 7. W książce Jeleńskiego Lilavati możemy przeczytać ciekawy dowód,
że w Paryżu z całą pewnością są dwie osoby, które mają taką samą liczbę włosów na
głowie. Rozumowanie to wykorzystuje zasadę szufladkową.
Musimy założyć, że istnieje jakieś górne ograniczenie na liczbę włosów na głowie —
powiedzmy 500 tysięcy. I teraz numerujemy szuflady według liczby włosów i każdego
paryżanina umieszczamy w szufladzie odpowiadającej jego liczbie włosów. I teraz
wystarczy tylko, aby liczba mieszkańców miasta była większa od liczby szuflad.
ppppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppppppppppp W kwadracie o boku 2 wybieramy dowolnie 5 punktów. Uzasadnij, że wśród
ppp pppppp pp
√
nich są takie dwa, że ich odległość jest mniejsza lub równa
2.
p p pppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppp pppppppp Wykaż, że różnice kwadratów kolejnych liczb naturalnych są kolejnymi liczbami
ppppppppp ppp
nieparzystymi.
ppp ppppppppp pp
pppppppppppppppppppppppppppppppppp Wykaż, że suma kwadratów kolejnych liczb nieparzystych nigdy nie jest podzielpppppppppppp
na przez 4. Podaj resztę z dzielenia tej liczby przez 4.