Liczby naturalne i całkowite

Liczby naturalne i
całkowite
Spis treści
Liczby naturalne i całkowite
Definicje
Działania na liczbach
Wielokrotności liczb naturalnych
Cechy podzielności
Przykłady potęg,potęgi o wykładniku
całkowitym,własności potęgowania
Liczby naturalne i całkowite w życiu
codziennym
Ciekawostki
Definicje
Zazwyczaj mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli
liczby 1, 2, 3, 4..., czasem jednak wygodnie jest przyjąć, że
liczba 0 jest również liczbą naturalną.
Liczby całkowite to liczby naturalne i liczby do nich
przeciwne, np.: -1,-2,-3,1,2,3.
Wynik dodawania liczb a, b nazywamy sumą a + b,
natomiast liczby, które dodajemy nazywamy składnikami.
Wynik mnożenia liczb a, b nazywamy iloczynem a x b,
natomiast liczby, które mnożymy nazywamy czynnikami.
Wynik odejmowania liczb a, b nazywamy różnicą a — b,
natomiast liczbę a nazywamy odjem na. liczbę zaś b —
odjemnikiem.
Wynik dzielenia liczb a, b nazywamy ilorazem a : b,
natomiast liczbę a nazywamy dzielną, liczbę b — dzielnikiem
powrót
W zbiorze liczb całkowitych wykonalne są dodawanie,
mnożenie i odejmowanie. Wynik dzielenia dwóch liczb
całkowitych nie zawsze jest
liczbą całkowitą.
Dodawanie liczb całkowitych przypomnimy na poniższych
czterech przykładach:
4+3=7
10 + 3= -7
l0 + (-3) = 7
(-7) + (-3)=-10
Przy odejmowaniu liczb stosuje się następującą regułę:
odejmowanie liczb zastępuje się przez dodawanie liczby
przeciwnej do odjemnika. Zilustrujemy to kilkoma
przykładami:
10-7=10 + (-7) = 3,
(—10) —( — 4) 10 + 4= —6,
(—10) —7= —10 + ( —7)= —17, 10 —( —6)=10 + 6=16.
Mnożenie liczb całkowitych przypomnimy na kilku
przykładach:
3-5=15,
( —3)-5= — 15,
powrót
(-3)-(-5)=15.
Jeżeli liczba naturalna m dzieli liczbę naturalną n bez reszty,
to liczba m nazywa się dzielnikiem liczby n, a liczba n
nazywa się wielokrotnością liczby m.
Przykład 1.
32 : 4 = 8
4 jest dzielnikiem liczby 32,
32 jest wielokrotnością liczby 4
25 nie jest wielokrotnością liczby 3
Przykład 2.
25 : 3 = 6 reszta 1
3 nie jest dzielnikiem liczby 25,
25 nie jest wielokrotnością liczby 3
powrót
Cecha podzielności przez 2
Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli w rzędzie jedności ma
cyfrę:0, 2, 4, 6, lub 8. Przykłady:24, 506, 1002, 99 990 Cecha
podzielności przez 3
Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr tworzy
liczbę podzielną przez 3.
Przykłady:
42, 783, 1209
4+2=6i6=2*3
7 + 8 + 3 = 18 i 18 = 6 * 3
1 + 2 + 0 + 9 = 12 i 12 = 4 * 3
Cecha podzielności przez 4
Liczba jest podzielna przez 4 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry
tworzą liczbę podzielną
przez 4.
Przykłady: 116, 340, 2036
Cecha podzielności przez 5
Liczba jest podzielna przez 5 jeżeli w rzędzie jedności ma
cyfrę 0 lub 5.
Przykłady: 30, 785, 1 090
DALEJ
powrót
Cecha podzielności przez 9
Liczba jest podzielna przez 9 jeżeli suma jej cyfr tworzy
liczbę podzielną przez 9.
Przykłady:
909, 1125, 38
9 + 0 + 9 = 18 i 18 = 2 * 9
1+1+2+5=9i9=1*9
178 3 + 8 + 1 + 7 + 8 = 27 i 27 = 3 * 9
Cecha podzielności przez 10
Liczba jest podzielna przez 10 jeżeli w rzędzie jedności ma
cyfrę 0.
Przykłady: 120, 3 090, 47 800
Cecha podzielności przez 25
Liczba jest podzielna przez 25 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry
tworzą liczbę: 25, 50, 75
lub są zerami.
Przykłady: 1300, 250, 975, 67 025
Liczba jest podzielna przez 5 jeżeli w rzędzie jedności ma
cyfrę 0 lub 5.
Przykłady: 30, 785, 1 090
powrót
DALEJ
Cecha podzielności przez 100
Liczba jest podzielna przez 100 jeżeli jest zakończona
dwoma zerami.
Przykłady: 1400, 79 900, 200 600
Praktyczne wskazówki!
Liczba jest podzielna przez:
- 6 jeżeli jest podzielna przez 2 i 3
- 12 jeżeli jest podzielna przez 3 i 4
- 15 jeżeli jest podzielna przez 3 i 5
Cecha podzielności przez 5
powrót
Potęgą liczby a o wykładniku naturalnym n > 1 nazywamy
iloczyn n czynników, z których każdy jest równy a, tzn.
a" = a- a-a... a
Ponadto przyjmujemy d =a.
W tej definicji a jest dowolną liczbą, n — liczbą naturalną
dodatnią. Liczbę a nazywa się podstawą potęgi, liczbę n —
wykładnikiem tej potęgi.
Zauważmy, że potęga liczby dodatniej jest liczbą dodatnią.
Potęga liczby ujemnej jest dodatnia, gdy wykładnik jest
parzysty; potęga liczby ujemnej jest liczbą ujemną, gdy
wykładnik jest nieparzysty.
powrót
Liczby naturalne i całkowite w życiu codziennym
Liczb naturalnych używa się powszechnie do liczenia (na obiedzie były trzy
osoby) i ustalania kolejności (był trzeci na liście). Pojęcie liczby jest jednym
z najstarszych i najbardziej abstrakcyjnych pojęć jakie wytworzyła
ludzkość, wydaje się jednak, że niewiedza na temat czym liczby są nie
przeszkadza nam sprawnie się nimi posługiwać.
Liczby całkowite stosuje się najczęściej aby określić ujemną wartość oraz
w tych samych sytuacjach co liczby naturalne opisane powyżej.Liczby
całkowite znajdują swoje zastosowanie np..: na osi termometru(i innych
mierników), na odejmowaniu punktów w różnych sytuacjach, konkursach
(-10 pkt), itp...
powrót
Ciekawostki
W czasach starożytnych znano lepszą metodę opisaną przez greckiego
uczonego Eratostenesa z Cyreny. Podszedł on do rozwiązania od drugiej
strony - zamiast sprawdzać podzielność kolejnych liczb naturalnych
przez znalezione liczby pierwsze, zaproponował wyrzucanie ze zbioru
liczb naturalnych wielokrotności kolejnych liczb, które nie zostały
wcześniej wyrzucone. To, co zostanie, będzie zbiorem liczb pierwszych,
które nie posiadają innych podzielników jak 1 i same siebie. Metoda ta
została nazwana sitem Eratostenesa i jest najszybszą metodą wyszukiwania
liczb pierwszych w ograniczonym zbiorze
Generacja liczb pierwszych przy pomocy sita Eratostenesa
{ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 }
Oto początkowy zbiór liczb. Najpierw usuniemy z niego liczbę 1 - nie jest
to liczba pierwsza, ponieważ nie posiada dokładnie dwóch różnych
podzielników.
{ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 }
Bierzemy pierwszą liczbę 2 i usuwamy ze zbioru wszystkie jej
wielokrotności. W ten sposób pozbyliśmy się liczb parzystych. Zauważ iż
obliczanie wielokrotności nie wymaga mnożenia - wystarczy dodawać
daną liczbę.
{ 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 }
Następną wolną liczbą jest 3. Usuwamy ze zbioru wszystkie
wielokrotności liczby 3. Pozostaną więc liczby niepodzielne przez 2 i
przez 3.
{ 2 3 5 7 11 13 17 19 }
powrót
Wykonane - w zbiorze pozostały same liczby pierwsze.
Kolejność wykonywania działań
powrót
Mamy nadzieję, że
prezentacja się podobała 
Autorzy: Monika Bulanowska,
Natalia Wojciechowska
KONIEC