Liczby pierwsze i liczby złożone
advertisement
(C)2005 RoG@j Liczby pierwsze i liczby złożone Podstawowe definicje Poszukiwanie liczb pierwszych Rermat, Mersenne, Euklides Rozkład na czynniki pierwsze Dalsze definicje ! ! Czynnikiem liczby złożonej jest jej dzielnik, który jest liczbą pierwszą. Rozkładem liczby na czynniki (pierwsze) lub jej faktoryzacją nazywamy przedstawienie liczby w postaci iloczynu jej czynników pierwszych z uwzględnieniem ich krotności. 24=2·2·2·3=23·3 Fermat i Mersenne ! ! ! Alg 27 Najczęściej stosowanym wzorem na liczby pierwsze jest 2p -1, gdzie p jest liczbą pierwszą. Na przykład dla p= 2, 3, 5, 7, 17, 31, 89 liczby tej postaci są pierwsze. Ten wzór zasugerował ojciec Marin Meersenne (1588-1648) w korespondencji z P. Fermatem i liczba pierwsza o tej postaci nazywa się liczbą Mersenne’a. 2005-04-07 Kilka definicji ! Liczba naturalna jest pierwsza, jeśli dzieli się tylko przez 1 i przez siebie. ! ! ! Jest wiele słuszności w powiedzeniu, że wśród liczb naturalnych, liczby pierwsze odgrywają rolę podobną do roli pierwiastków w chemii. Liczbę naturalną, która nie jest pierwszą, nazywa się liczbą złożoną. Liczba złożona ma więc dzielniki, które są różne od 1 i od niej samej. Dobre zadanie! ! ! ! Matematycy od dawna starali się podać wzór na liczby pierwsze. Pierre de Fermat (1601-1655) twierdził, że k dla każdego k, liczba 22 +1 jest liczbą pierwszą. Niestety mylił się dla k=5 nie jest to liczba pierwsza. Największa pierwsza… (1996) ! ! ! ! Największa znana liczba pierwsza została znaleziona w listopadzie 1996 roku. Jest ona liczbą Mersenne’a dla p = 1398269. Zawiera 420921 cyfr, a sprawdzenie, że jest to rzeczywiście liczba pierwsza, trwało 88 godzin pracy komputera IBM PC z procesorem 90 MHz Pentium. Wygooglajcie jak jest dziś! 1 (C)2005 RoG@j Zadania z liczbami pierwszymi ! ! ! Sprawdzić czy dana liczba n jest liczbą pierwszą; jeśli nie jest, to podać jej rozkład na czynniki. Znaleźć wszystkie liczby pierwsze w wybranym przedziale liczb lub znaleźć dużą liczbę pierwszą. Liczby pierwsze są obecnie wykorzystywane w kryptografii do kodowania wiadomości przesyłanych w sieciach komputerowych. Rozkład na czynniki pierwsze ! ! ! Dla danej liczby naturalnej n szukamy następującego jej przedstawienia n=p1p2,…,pl gdzie p1≤p2≤…≤ pl Gdzie pi (i=1,2…,l) są liczbami pierwszymi Oczywista metoda znajdowania czynników polega na dzieleniu n przez kolejne liczby pierwsze p=2,3,5,7,11… Jeżeli… (2) ! Alg 27 Jeżeli w jakimkolwiek momencie sprawdzania podzielność dla kolejnego p okaże się, że liczba n nie jest podzielna przez p i część całkowita ilorazu n/p nie jest większa niż p, to możemy przerwać obliczenia i stwierdzić, że bieżąca liczba n jest liczbą pierwszą. 2005-04-07 Znowu Euklides ! Euklidesa (80 rok p.n.e.) już jednak ciekawiło, czy takich liczb jest dużo, i udowodnił następujące twierdzenie, z którego wynika, że… ! ! liczb pierwszych jest nieskończenie wiele Liczb pierwszych jest więcej niż jest ich w jakimkolwiek skończonym zbiorze złożonym z liczb pierwszych. Jeżeli… (1) ! ! Jeżeli natrafimy na p takie, że n mod p = 0, czyli liczba n jest podzielna przezp, to p jest najmniejszym dzielnikiem n. Postępowanie to powtarzamy dla liczby n równej n/p i dla każdych liczb pierwszych, począwszy od p - gdyż p wielokrotnie wystąpić w rozkładzie. Jeżeli… (3) ! ! Jeżeli n nie jest liczbą pierwszą, to ma czynnik p spełniający warunek p<Sqrt(n). Ponadto, każda liczba złożona ma w swoim rozkładzie na czynniki co najwyżej jeden czynnik większy niż Sqrt(n) 2
