Liczby pierwsze i liczby złożone

advertisement
(C)2005 [email protected]
Liczby pierwsze i
liczby złożone
Podstawowe definicje
Poszukiwanie liczb pierwszych
Rermat, Mersenne, Euklides
Rozkład na czynniki pierwsze
Dalsze definicje
!
!
Czynnikiem liczby złożonej jest jej dzielnik,
który jest liczbą pierwszą.
Rozkładem liczby na czynniki (pierwsze) lub
jej faktoryzacją nazywamy przedstawienie
liczby w postaci iloczynu jej czynników
pierwszych z uwzględnieniem ich krotności.
24=2·2·2·3=23·3
Fermat i Mersenne
!
!
!
Alg 27
Najczęściej stosowanym wzorem na liczby
pierwsze jest 2p -1, gdzie p jest liczbą
pierwszą.
Na przykład dla p= 2, 3, 5, 7, 17, 31, 89
liczby tej postaci są pierwsze.
Ten wzór zasugerował ojciec Marin
Meersenne (1588-1648) w korespondencji z
P. Fermatem i liczba pierwsza o tej postaci
nazywa się liczbą Mersenne’a.
2005-04-07
Kilka definicji
!
Liczba naturalna jest pierwsza, jeśli dzieli
się tylko przez 1 i przez siebie.
!
!
!
Jest wiele słuszności w powiedzeniu, że wśród
liczb naturalnych, liczby pierwsze odgrywają rolę
podobną do roli pierwiastków w chemii.
Liczbę naturalną, która nie jest pierwszą,
nazywa się liczbą złożoną.
Liczba złożona ma więc dzielniki, które są
różne od 1 i od niej samej.
Dobre zadanie!
!
!
!
Matematycy od dawna starali się podać wzór
na liczby pierwsze.
Pierre de Fermat (1601-1655) twierdził, że
k
dla każdego k, liczba 22 +1 jest liczbą
pierwszą.
Niestety mylił się dla k=5 nie jest to liczba
pierwsza.
Największa pierwsza… (1996)
!
!
!
!
Największa znana liczba pierwsza została
znaleziona w listopadzie 1996 roku.
Jest ona liczbą Mersenne’a dla p = 1398269.
Zawiera 420921 cyfr, a sprawdzenie, że jest
to rzeczywiście liczba pierwsza, trwało 88
godzin pracy komputera IBM PC z
procesorem 90 MHz Pentium.
Wygooglajcie jak jest dziś!
1
(C)2005 [email protected]
Zadania z liczbami pierwszymi
!
!
!
Sprawdzić czy dana liczba n jest liczbą
pierwszą; jeśli nie jest, to podać jej rozkład na
czynniki.
Znaleźć wszystkie liczby pierwsze w
wybranym przedziale liczb lub znaleźć dużą
liczbę pierwszą.
Liczby pierwsze są obecnie wykorzystywane
w kryptografii do kodowania wiadomości
przesyłanych w sieciach komputerowych.
Rozkład na czynniki pierwsze
!
!
!
Dla danej liczby naturalnej n szukamy
następującego jej przedstawienia
n=p1p2,…,pl gdzie p1≤p2≤…≤ pl
Gdzie pi (i=1,2…,l) są liczbami pierwszymi
Oczywista metoda znajdowania czynników
polega na dzieleniu n przez kolejne liczby
pierwsze p=2,3,5,7,11…
Jeżeli… (2)
!
Alg 27
Jeżeli w jakimkolwiek momencie sprawdzania
podzielność dla kolejnego p okaże się, że
liczba n nie jest podzielna przez p i część
całkowita ilorazu n/p nie jest większa niż p, to
możemy przerwać obliczenia i stwierdzić, że
bieżąca liczba n jest liczbą pierwszą.
2005-04-07
Znowu Euklides
!
Euklidesa (80 rok p.n.e.) już jednak ciekawiło,
czy takich liczb jest dużo, i udowodnił
następujące twierdzenie, z którego wynika,
że…
!
!
liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
Liczb pierwszych jest więcej niż jest ich w
jakimkolwiek skończonym zbiorze złożonym z
liczb pierwszych.
Jeżeli… (1)
!
!
Jeżeli natrafimy na p takie, że n mod p = 0,
czyli liczba n jest podzielna przezp, to p jest
najmniejszym dzielnikiem n.
Postępowanie to powtarzamy dla liczby n
równej n/p i dla każdych liczb pierwszych,
począwszy od p - gdyż p wielokrotnie
wystąpić w rozkładzie.
Jeżeli… (3)
!
!
Jeżeli n nie jest liczbą pierwszą, to ma
czynnik p spełniający warunek p<Sqrt(n).
Ponadto, każda liczba złożona ma w swoim
rozkładzie na czynniki co najwyżej jeden
czynnik większy niż Sqrt(n)
2
Download
Random flashcards
ALICJA

4 Cards oauth2_google_3d22cb2e-d639-45de-a1f9-1584cfd7eea2

66+6+6+

2 Cards basiek49

Pomiary elektr

2 Cards m.duchnowski

Create flashcards