Liczby doskonałe

Liczby doskonałe
Co to właściwie jest ?!

Pierwsze wzmianki o liczbach doskonałych pojawiają się w Elementach
Euklidesa ok 300r. Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb , z których pierwsza
jest jedynką, a każda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i
dodać je do siebie, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą to liczba
ta pomnożona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu
będzie liczbą doskonałą.
Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich
swoich dzielników mniejszych od niej samej.
Pierwsza liczba doskonała to : 6
Dzielniki 6 to : 1,2,3,6
6 to: 1+2+3
Druga liczba doskonała to: 28
Dzielniki 28 to :1,2,4,7,14,28
28 to : 1+2+4+7+14
Tamte dwie liczby znane były w starożytności.
Kabaliści utrzymywali, że nie przypadkiem Bóg stworzył
świat w sześć dni, a Księżycowi kazał obiegać Ziemię w
ciągu 28 nocy. Dwie kolejne liczby doskonałe znalazł
Euklides: 496 i 8128.
On też zauważył, że jeśli liczby p i 2p - 1 są pierwsze,
to liczba postaci
2p-1(2p - 1) jest liczbą doskonałą.
Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat później.
Kolejne dwie liczby odkrył Cataldi na początku XVII w.
Później liczby doskonałe odkrywali Fermat i Mersenne.
MERSENNE
FERMAT
Historia największych liczb doskonałych związana jest z
odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna.
Dziś w dobie komputerów znamy ich niewiele.
Wszystkie znane liczby doskonałe mają postać zaproponowaną
przez Euklidesa.Nie wiemy też, czy istnieją nieparzyste liczby
doskonałe. Zagadnienie to badano intensywnie, lecz nie ma na nie
odpowiedzi.Parzyste liczby doskonałe mają postać: n=2(k-1)(2k-1), o
ile 2k-1 jest liczbą pierwszą (k - pewna liczba naturalna).
Twierdzenie powyższe udowodnił Euklides.
W starożytności znano zaledwie cztery liczby
doskonałe. Były to:
P1-6
P2-28
P3-496
P4-8128
Poszukiwania kolejnych liczb
stały się możliwe dopiero w
momencie zaadaptowania ,,liczb
arabskich" (systemu
dziesiątkowego) do rachunków, z
końcem 16. wieku.
Stosunkowo szybko znaleziono:
P5-2 do potęgi 12(2 do potęgi 13-1)=33 350 3336
P6-2 do potęgi 16(2 do potęgi 17-1)=8 589 869 056
P6- 2 do potęgi 18(2 do potęgi 19-1)=137 438 691 328
W siedemnastym wieku duszą zespołu poszukujących był
wychowanek jezuickiego kolegium, franciszkanin ojciec Marin
Mersenne. To właśnie Mersenne w swoim Cogitata
PhysicoMathematica, 1644 podał (bez cienia dowodu, ani
zdradzenia metodologii!), że wśród liczb typu :
Mn=2 do potęgi n-1 dla liczb : 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127 i 257 daje
liczby pierwsze (i odpowiednie liczby doskonałe). Warto tutaj dodać,
że liczba M257 zapisana w postaci dziesiętnej składa się z ...78 cyfr!
W rzeczywistości Mersenne popełnił 5 błędów, z których ostatni
wyłapano ...50 lat temu! Wykazano (w dziewiętnastym wieku) , że:
M61, M89, M107 są liczbami pierwszymi; natomiast M67 i M257 są
liczbami złożonymi
Ciekawostka:
6972592
Liczba doskonała: 2
ma 4 197 919 cyfr. Odkryto
ją 1 czerwca 1999roku.
Liczba: 213466916 także jest
doskonała.
Największą znaną dziś
liczbą doskonałą parzystą
jest 230402456 – liczy ona
18304103 cyfr!

Każda liczba doskonała
jest zaprzyjaźniona ze
sobą.

PRZYGOTOWAŁY:
ELA MALISZEWSKA
PAULINA KACPRZAK