Liczby pierwsze

Co to jest liczba ??
 Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej
używanych w matematyce. Określenie „liczba” bez żadnego
przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują
„liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite”, itp.
Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą
aksjomatów lub konstruowane z bardziej podstawowych
pojęć, takich jak zbiór, czy typy liczb prostsze od
konstruowanego.

Aksjomat – jedno z
podstawowych
pojęć logiki
matematycznej
Liczby pierwsze to liczby naturalne, które posiadają
dokładnie dwa dzielniki (liczbę 1 i samą siebie).
Oto kilka początkowych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 9
Odpowiedź na pytanie o to, ile jest liczb pierwszych, zawiera następujące
twierdzenie:
• Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
• Pierwszy nieskończoności liczb pierwszych dowiódł Euklides, który
tak oto pisał:
• Jest więcej liczb pierwszych, niż każda dana liczba liczb pierwszych.
Nasuwa się pytanie, czy liczba naturalna jest
pierwsza, czy też nie jest liczbą pierwszą.
Jeśli liczba naturalna większa od 1 nie jest
pierwszą, to jest iloczynem dwóch liczb
naturalnych od niej mniejszych. Liczby takie
nazywamy
liczbami
złożonymi.
Liczba
Czynniki pierwsze
2
Liczba pierwsza nr 1
3
Liczba pierwsza nr 2
4
=2×2
5
Liczba pierwsza nr 3
6
=2×3
7
Liczba pierwsza nr 4
8
=2×2×2
9
=3×3
Aby sprawdzić, czy liczba naturalna jest liczbą pierwszą, należy
dzielić ją kolejno przez wszystkie liczby mniejsze od niej z wyjątkiem
jedynki. Jeśli przy każdym dzieleniu reszta z dzielenia jest różna od
zera, to liczba jest liczbą pierwszą. Natomiast jeżeli choć jedno
dzielenie daje resztę równą zero, to sprawdzana liczba naturalna jest
liczbą złożoną. Nie jest to więc problem teoretyczny, jednak
praktycznie trudny w przypadku bardzo dużych liczb.
Jeśli liczba jest stosunkowo niewielka, takie dzielenia możemy
przeprowadzić sami, natomiast jeśli liczba nie jest już mała, to
rozsądnie jest sprawdzić ją za pomocą urządzenia, które potocznie
nazywa się komputerem. Ale ów maszynę trzeba zaprogramować,
czyli napisać algorytm, który rozstrzygnie czy dana liczba jest
pierwsza. Algorytm ten musi być przy tym efektywny, taki który
wykona możliwie jak najmniej operacji, w jak najkrótszym czasie
Liczby pierwsze nieparzyste można podzielić na dwie grupy,
pierwsza składa się z liczb, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1,
druga grupa składa się z liczb, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę
3. Pierwszą grupę możemy zapisać w postaci 4k + 1, drugą grupę 4k +
3, gdzie k jest liczbą całkowitą
Liczby pierwsze postaci:
4k + 1: 5, 13, 17, 29, 37, ...
4k + 3: 3, 7, 11, 19, 23, ...
Jeżeli p jest liczbą pierwszą, wielomian
f(x) = a0xn +a1xn-1 + ... + an-1x + an
jest wielomianem stopnia naturalnego n o współczynnikach całkowitych, gdzie
współczynnik przy najwyższej potędze x, a0 jest niepodzielny przez p, to wśród
liczb
x = 0, 1, 2, ..., p - 1 istnieje nie więcej niż n takich, dla których liczba f(x) jest
podzielna przez p.
Sir John Wilson (1741 - 1793) zauważył, że gdy p jest liczbą pierwszą, wtedy resztą z
dzielenia liczby (p - 1)! przez p jest zawsze p - 1.
Dla każdej liczby pierwszej p liczba (p - 1)! + 1 jest podzielna przez p.
Dowód. Niech p będzie liczbą pierwszą i niech
f(x) = (x - 1)(x - 2)...(x - p + 1) - xp-1 + 1
Kryterium Wilsona dla liczb pierwszych
Godnym uwagi jest, że jeżeli dla liczby naturalnej n > 1 liczba (n - 1)! + 1 jest
podzielna przez n, to n musi być liczbą pierwszą. Gdyby n było liczbą złożoną, to n =
ab, gdzie 1 < a, b < n i liczba a byłaby jednym z czynników iloczynu 1 · 2 · ... · (n 1), a więc liczba (n - 1)! + 1 przy dzieleniu przez a dawałaby resztę 1. Zachodzi
sprzeczność, ponieważ będąc podzielną przez n, musi być podzielna przez a,
dowodzi to, że liczba n musi być pierwszą.
The End