X X X X X

Imię i nazwisko ……………………………………………………
klasa 3B
19.12.2016
Rachunek prawdopodobieństwa - podstawa
1. (1 pkt) Na okręgu zaznaczono
20
Grupa A
różnych punktów. Ile jest cięciw, których końcami są te punkty?
A.
B.
C.
D.
2. (1 pkt) W pewnej konkurencji sportowej startuje sześciu zawodników. Liczba możliwości przyznania medali
za trzy pierwsze miejsca (zakładamy, że wszyscy zawodnicy ukończą konkurencję i wykluczamy przypadek
dzielenia miejsc ex aequo), jest równa:
A.
B.
C. .
D. .
3. (1 pkt) Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia ,
, jest równe . Wówczas prawdopodobieństwo
zajścia zdarzenia przeciwnego do A wynosi:
A.
B.
C.
D.
4. (1 pkt) Rzucono pięć razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wyrzucono co najmniej
cztery orły, jest równe:
A.
B.
C.
D.
5. (1 pkt) Zdarzenia i są rozłączne,
oraz żadne ze zdarzeń oraz nie jest zdarzeniem
niemożliwym. Wówczas
jest równe:
A.
B.
C.
D.
6. (4 pkt) Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych należących do przedziału
losujemy jedną liczbę.
Wykaż, że prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrana liczba w wyniku dzielenia przez daje resztę ,
jest równe
.
7. (3 pkt) W klasie 3b zorganizowano zbiórkę pieniężną na dofinansowanie schroniska dla zwierząt. Wyniki tej
zbiórki są przedstawione w tabeli.
Liczba uczniów
12
5
2
11
Kwota darowizny 5 zł 10 zł 15 zł 20 zł
Z tej klasy wybrano w sposób losowy dwie osoby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że co najmniej
jedna z tych osób podarowała na ten cel kwotę wyższą od średniej kwoty przypadającej na jednego ucznia
w klasie.
8. (4 pkt) Ze zbioru cyfr
tworzymy wszystkie dodatnie pięciocyfrowe liczby, w których cyfra jeden
występuje dokładnie dwa razy. Następnie z tych liczb losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia, że wylosowana liczba jest parzysta.
9. (4 pkt) O pewnych zdarzeniach
wiadomo, że
,
oraz
( oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia ). Oblicz:
a)
b)
– .
X
X
X
X
X
Propozycje rozwiązań
1. Każdy punkt łączymy z pozostałymi, czyli liczba cięciw jest równa liczbie wyborów dwóch różnych punktów.
Ze wzoru na liczbę kombinacji:
.
2. Ważna jest kolejność miejsc i nie ma powtórzeń to mamy wariacje bez powtórzeń:
.
3.
czyli
.
4. Wyrzucono co najmniej cztery orły to znaczy wyrzucono lub orłów i zdarzenia są niezależne.
– wyrzucono i razy orła. Mamy
,
,
,
.
5.
, ponieważ zdarzenia
są rozłączne czyli
otrzymujemy
.
6. Pierwszą liczbą w tym przedziale, która przy dzieleniu przez daje resztę jest a ostatnią
.
Ponieważ
to liczb spełniających warunek jest
(można wykorzystać ciąg arytmetyczny).
Gdy
oznacza zdarzenie – wylosowano liczbę, która przy dzieleniu przez
(osiem nie należy do przedziału). Ostatecznie
daje resztę
to mamy:
.
7. Obliczmy średnią kwotę darowizny:
Było
uczniów, którzy wpłacili więcej niż
.
– co najmniej jeden uczeń wpłacił więcej niż 12 zł.
Mamy
.
Ostatecznie
.
8. Liczb pięciocyfrowych o cyfrach z danego zbioru i zawierających dokładnie dwie jedynki jest:
czyli
.
Liczba pięciocyfrowa spełniająca warunki zadania jest parzysta, gdy ostatnia cyfra jest parzysta czyli
.
Ostatecznie
.
9.
a)
.
Podstawiamy wartości:
i otrzymujemy
i
.
b)
- patrz rysunek
Wstawiamy wartości:
–
.