Ciekawostki_matematyczne.pps

Doskonalenie
rachunku pamięciowego
u uczniów
SPIS TREŚCI
Cechy podzielności liczb całkowitych
Mnożenie na palcach
Algorytm egipski
Algorytm Euklidesa
Krzyżowy sposób mnożenia liczb
Ciekawe tabelki liczbowe
CECHY PODZIELNOŚCI
LICZB CAŁKOWITYCH
dzielnik
cecha
2
ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 0, 2,
4, 6, 8.
3
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
4
liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna
przez 4
5
ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
6
jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3
7
suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi 3
(włącznie z potęgą zerową: 30=1) jest podzielna przez 7
dzielnik
cecha
8
liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna
przez 8. W praktyce należy wziąć liczbę tworzoną przez trzy
ostatnie cyfry, podzielić ją przez dwa i sprawdzić
podzielność przez cztery
9
suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9. Jeśli wynik
sumowania jest wielocyfrowy sumowanie należy powtarzać
dla wyniku sumowania.
10
ostatnią cyfrą jest 0
11
po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy
liczbę podzielną przez 11. Przykład:
Liczba 854073  (8+4+7) - (5+0+3) = 19 - 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
dzielnik
cecha
12
jest podzielna zarówno przez 3 i przez 4.
13
różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby
złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np.
85527  527 - 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest
podzielna przez 13.
14
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 7.
15
podzielna zarówno przez 3 i przez 5.
18
jest podzielna zarówno przez 2 i przez 9.
n
Liczba jest podzielna przez n, jeśli jest ona podzielna przez
k i l, n = k * l
oraz k i l są liczbami względnie pierwszymi.
MNOŻENIE NA PALCACH
Sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5.
Wymagana jest znajomość tabliczki mnożenia do 25.
 Na lewej dłoni wyprostowane są dwa
7×8
palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na
prawej dłoni trzy palce są wyprostowane,
a dwa zgięte.
 7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń
lewa)
 8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń
prawa)
 Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
do sumy palców wyprostowanych,
pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn
palców zgiętych, tzn.:
(2 + 3)×10 + 3×2 = 50 + 6 = 56
6×8
 Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden
palec, a cztery pozostałe są zgięte.
 Na prawej dłoni trzy palce są
wyprostowane, a dwa zgięte.
 6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa)
 8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa).
 Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
(1 + 3) × 10 + 4 × 2 = 40 + 8 = 48
5×6
 Na lewej dłoni nie jest wyprostowany
żaden palec, a pięć jest zgiętych.
 Na prawej dłoni jeden palec jest
wyprostowany, a cztery są zgięte.
 6 = 5 + 0 (0 palców - dłoń lewa)
 6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń prawa).
 Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni,
dodajemy do sumy palców
wyprostowanych, pomnożonej przez 10,
iloczyn palców zgiętych, tzn.:
5 × 6 = (0+1) × 10 + 5 × 4 = 10 + 20 = 30
ALGORYTM EGIPSKI
Około 2000 lat p.n.e. Egipcjanie do mnożenia
wykorzystywali układ dwójkowy (choć o tym nie
wiedzieli).
1
Algorytm mnożenia przez podwajanie
2
stosowany przez Egipcjan.
4
Powiedzmy, że mamy pomnożyć 64 przez 319.
8
 Tworzymy dwie kolumny liczb: pierwsza
16
zaczyna się od 1 druga od drugiego czynnika,
32
czyli 319.
64
 W każdym nowym wierszu i w każdej
kolumnie podwajamy liczby stojące w wierszu
poprzednim, aż w pierwszej kolumnie
uzyskamy 64.
319
638
1276
2552
5104
10208
20416
Taki algorytm jest jednak niepełny umożliwia tylko mnożenie przez potęgi
dwójki. Można go jednak udoskonalić.
Pomnóżmy 87 przez 93.
Tworzymy dwie kolumny podwajanych
liczb.
Nie rozwijamy kolumn dalej, bo
podwojenie 64 (czyli 128) przekroczy 87
czyli pierwszy czynnik.
Teraz dobieramy liczby z pierwszej
kolumny tak, aby w sumie dały pierwszy
czynnik (oznaczamy je gwiazdkami).
 Wynikiem mnożenia będzie suma liczb
z drugiej kolumny z oznaczonych rzędów:
93 + 186 + 372 + 1488 + 5952 = 8091



1
93
2
186
4
372
8
744
 16 1488
32 2976
 64 5952
ALGORYTM EUKLIDESA
Jest to jedna z najstarszych metod znajdowania
największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch różnych
liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki
pierwsze.
I sposób
Polega na sprawdzaniu podzielności obu liczb przez kolejne
liczby od 2 poczynając, a na mniejszej liczbie kończąc.
Można to zrobić na kartce tworząc tabelkę. Przyjrzyjmy się
temu sposobowi biorąc liczby 12 i 8:
liczba 1
12
12 : 2 = 6
6:2=3
liczba 2
8
8:2=4
4:2=2
wspólny dzielnik
2
2
1
NWD(12, 8) = 2 × 2 × 1 = 4
II sposób (szybki algorytm Euklidesa)
Polega on na braniu reszty z dzielenia większej liczby przez
mniejszą zamiast odejmowania. Gdy reszta ta osiągnie zero
należy skończyć pętlę i jako wynik wziąć drugą liczbę.
Przebieg algorytmu obliczania
NWD liczb a i b (a > b):
1. Oblicz c jako resztę z dzielenia a
przez b.
2. Zastąp a przez b, zaś b przez c.
3. Jeżeli b = 0, to szukane
NWD = a, w przeciwnym
wypadku przejdź do 1.
a
1285
275
185
90
5
b
275
185
90
5
0
c
185
90
5
0
KRZYŻOWY SPOSÓB MNOŻENIA
Przykład 1.
21  13 = 2 7 3
3
2
7
Przykład 2.
3
3
8
+ 14
8
123  321  3 8
 1 4 8 3  39 483
9
123  321
Kierunek odczytania wyniku
Kierunek zapisu liczby
Kierunek zapisu liczby
Przykład 3.
247 × 479
CIEKAWE TABELKI LICZBOWE
Mnożenie przez 9.
W kolejnych wierszach po lewej
stronie znaku równości cyfra
bliższa zwiększa się o jeden, zaś
po prawej stronie cyfra bliższa
znakowi równości rośnie o jeden, a
cyfra dalsza maleje o jeden.
91
92
93
94
95
96
97
98
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Kwadrat liczb złożonych z „1”.
Jeśli w kolejnych wierszach po lewej stronie
przybywa jedynek, to liczby-palindromy po lewej
wydłużają się i za każdym razem pojawia się
kolejna cyfra w środku.
12
=
1
112
1112
11112
111112
1111112
11111112
=
121
=
12321
=
1234321
=
123454321
= 12345654321
= 1234567654321
Iloczyny liczb złożonych z samych „1”.
Kolejne wiersze to iloczyny liczb złożonych z
samych jedynek. W pierwszym wierszu 11 razy
111, w drugim 111 razy 11111 itd. W kolejnym
wierszu w pierwszym czynniku przybywa jedna
jedynka, a w drugim dwie.
11 · 111 = 1221
111 · 11111 = 1233321
1111 · 1111111 = 1234444321
11111 · 111111111 = 1234555554321
111111 · 11111111111 = 1234566666654321
1111111 · 1111111111111 = 1234567777777654321