Rachunek prawdopodobieństwa

Zadania przygotowawcze do sprawdzianu z Rachunku Prawdopodobieństwa
1. Ile różnych słów można utworzyć z liter: a) K, U, K, U, Ł, K, A, b) T, O, T, O, L, O, T, E, K?
Rozwiązanie a): Gdyby wszystkie litery były rozróżnialne, to było by tych słów 7!, jednak wśród nich będą powtórzenia z uwagi
na 3 litery K i 2 litery U: każde słowo wystąpi w 3!  2! egzemplarzach, zatem odpowiedź to:
7!
 420
3!  2!
2. Na ile sposobów można ustawić w kolejkę 2 kobiety, 4 mężczyzn i 3 dzieci, jeśli:
a) mężczyźni stoją razem i dzieci stoją razem, b) Dzieci stoją na przemian z mężczyznami, a kobiety osobno?
Rozwiązanie a): oto dwa ustawienia ze względu na kolejność M i D: _MMMM_DDD_ lub _DDD_MMMM_ . Obie kobiety mogą stać
razem na jednym z podkreślonych miejsc (3 sposoby razy 2!), albo z osobna (3 sposoby razy 2!) co daje 6  2! 12 możliwości. Liczba
możliwych ustawień M wynosi 4! i podobnie D: 3!.
Mamy zatem 2  4!  3! 12  3456 ustawień. (Odp.)
3. Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, w których
a) cyfra jedności jest większa od cyfry dziesiątek? b) różnica pierwszej i ostatniej cyfry jest liczbą parzystą?
Rozwiązanie a): Wszystkich takich liczb jest 9  9  8 (pierwszy wybór bez zera, drugi z zerem, ale bez pierwszej cyfry, trzeci bez obu
wykorzystanych cyfr). Można te wszystkie liczby dobrać parami w których zamienione miejscami są dwie ostatnie cyfry. Zatem wynik
to połowa powyższej liczby: 9  9  4  324
4. Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach a) większych od 631? b) mniejszych od 318?
Rozwiązanie a): liczb postaci 63_ mamy 6 (ostatnia cyfra >1), postaci 6_ _ mamy 5  8  40 (druga cyfra >3),
a liczb _ _ _ mamy 3  9  8  216 (pierwsza cyfra >6). W sumie daje to wynik: 6+40+216=262.
5. Na ile sposobów można umieścić 8 kul w 10 ponumerowanych szufladach jeśli
a) kule są różne, a każda szuflada mieści tylko 1 kulę,
b) kule są różne, a każda szuflada mieści nawet 8 kul,
c) kule są nierozróżnialne, a każda szuflada mieści tylko 1 kulę.
Rozwiązanie a): Kulom przypisujemy szuflady! Pierwszej kuli 1 z 10 szuflad, drugiej 1 z 9 itd., co daje wynik:
10  9  8  7  6  5  4  3 
10!
 1814400
2!
6. Wiadomo, że: a) P( A' )  0,25 , P( B)  0,6 , P( A  B)  0,9 , b) P( A)  0, (3) , P( B' )  0,7 , P( A  B) 
8
.
15
Oblicz P( A \ B)
Rozwiązanie a): P( A)  P( A \ B)  P( A  B) , gdzie P( A)  1  P( A' )  0,75 , a P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) .
Stąd P( A  B)  0,75  0,6  0,9  0,45 . Zatem 0,75  P( A \ B)  0,45 i P( A \ B)  0,3 (Odp.)
7. Sprawdź, czy zdarzenia A i B mogą być rozłączne? a) P( A)  0,28 , P( B)  0,73 , b) P( A' )  0,33 , P( B)  0,66
Rozwiązanie a): P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) , co daje P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)  1,01  P( A  B)
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B jest co najwyżej równe 1, zatem prawdopodobieństwo iloczynu A i B wynosi co najmniej 0,01,
a to oznacza, że te zdarzenia nie mogą być rozłączne.
8. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrana losowo liczba dwucyfrowa jest a) parzysta, lub podzielna przez 5,
b) podzielna przez 3 lub przez 2.
Rozwiązanie a): Liczb dwucyfrowych jest 99-9=90. Zatem   90 . Niech: A – wylosowana liczba jest parzysta, A  45 ,
B – wylosowana liczba jest podzielna przez 5,
B  18 .
Wtedy A  B - wylosowana liczba jest podzielna przez 10 (parzysta i podzielna przez 5), A  B  9
Zatem P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) 
45 18 9 54



 0,6 .
90 90 90 90
9. Dwóch strzelców strzela do tarczy, pierwszy trafia z prawdopodobieństwem 0,4, a drugi
z prawdopodobieństwem 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że tarcza: a) zostanie trafiona, b) zostanie
trafiona dokładnie raz, c) zostanie trafiona przez pierwszego strzelca, a drugi chybi?
Rozwiązanie a) sytuację można przedstawić w postaci drzewka, co pozwoli łatwo rozwiązać wszystkie podpunkty:
0,4
Niech A oznacza zdarzenie: tarcza została trafiona,
Najwygodniej posłużyć się zdarzeniem przeciwnym:
A’ – tarcza nie została trafiona.
P( A' )  0,6  0,3  0,18 , stąd P( A)  1  0,18  0,82 .
Zatem tarcza zostanie trafiona z prawdopodob. 82% (Odp.)
0,6
1.Trafi
1.Chybi
0,7
0,3
2.Trafi
0,7
2.Chybi
2.Trafi
0,3
Uwaga:
Wynik oczywiście można obliczyć wprost uwzględniając
wszystkie możliwości trafienia tarczy:
2.Chybi
P( A)  0,4  0,7  0,4  0,3  0,6  0,7  0,82
10. W pierwszej urnie jest 5 kul białych i 4 kule czarne, a w drugiej urnie: 2 białe i 6 czarnych. Rzucamy kostką
do gry, jeśli wypadnie „1”, to losujemy 2 kule z pierwszej urny, w pozostałych przypadkach – 2 kule z drugiej
urny. Oblicz prawdopodobieństwo, że będą to kule a) białe, b) czarne, c) różnokolorowe.
Rozwiązanie a) Przedstawione losowanie zilustrujemy za pomocą drzewka:
1
6
5
6
1
2, 3, 4, 5, 6
5b+4c
5
9
2b+6c
4
9
c
b
4b+4c
4
8
b
b
5b+3c
4
8
5
8
c
2
8
6
8
1
6
1
6
1b+6c
3
8
b
A – wylosowanie dwóch kul białych, P( A) 
1
7
c
b
c
2b+5c
6
7
2
7
c
b
5
7
c
1 5 1 5 1 1 115
     
 0,076 (Odp.)
6 9 2 6 4 7 1512
Piotr Kryszkiewicz