Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Algorytm i liczby Kaprekara Anna Mezer MS, rok V, sem. IX Gdańsk, październik 2008 1 Nota biograficzna Dattaraya Ramchandra Kaprekar (ur. 1905 w Dahanu, zm. 1986 w Maharashtra) był hinduskim matematykiem. Uczył w niewielkiej szkole w Deolali. Poczynił wiele ciekawych odkryć dotyczących teorii liczb, ułamków okresowych oraz kwadratów magicznych. Na szczególną uwagę zasługują niewątpliwie liczby Kaprekara, stała Kaprekara oraz liczby własne. 2 Algorytm Kaprekara Algorytm ten został opracowany w 1949 r. przez Dattaraya Ramchandra Kaprekara. Polega na nastepującym postępowaniu: • Wybranie liczby czterocyfrowej n, której nie wszystkie cyfry sa jednakowe; • Uporządkowanie cyfr liczby n od najmniejszej do największej; • Utworzenie liczby k poprzez odwórcenie kolejności cyfr liczby n; • Uzyskanie różnicy n - k ; • Powtórznie algorytmu aż do uzyskania liczby 6174 (Przy zastosowaniu powyższego algorytmu liczba ta przechodzi w samą siebie, co kończy postępowanie). Przykład 1. Wybieramy dowolną liczbę czterocyfrową, spełniającą założenia algorytmu Kaprekara: 5832. Porządkujemy odpowiednio jej cyfry. Zatem n = 8532, k = 2358, a różnica n-k = 6174. Badania przypadku ogólnego (patrz [1]) doprowadzają do wniosków, że dla liczb czterocyfrowych spełniających założenia algorytmu Kaprekara mamy 30 różnic (odpowiadających grupom cyfr), a algorytm zakończy działanie po najwyżej 7 operacjach. Co więcej liczby te moga przechodzić jedna w drugą, co zobrazuje nastepujący przykład. Przykład 2. 5544 → 9810 → 9621 → 8532 → 6174. 5544 - 4455 = 1089, 9810 - 189 = 9621, 9621 - 1269 = 8352, 8532 - 2358 = 6174. Ostateczną różnicę, którą jest dla czterocyfrowych liczba 6174, nazywamy studnią Kaprekara. Charakteryzuje się ona tym, że w toku algorytmu przechodzi w sama siebie. Studnią dla liczb trzycyfrowych jest 495. W przypadku liczby dwucyfrowych studnia nie istnieje, gdyż mamy do czynienia z cyklem różnic 0 → 9 → 81 → 63 → 27 → 45 → 0 → 9 → ... . Studnia Kaprekara posiada pewną własność. Rozpatrzmy studnię liczb trzycyfrowych 495. Podzielmy jej cyfry na 3 grupy: 4, 9, 5, a nastepnie wstawmy pomiędzy nie kolejno cyfry: 5, 9, 4. Otrzymamy liczbę 549945. Po zastosowaniu algorytmu Kaprekara 995544 - 445599 = 549 945 otrzymamy studnię liczb sześciocyfrowych. Analogiczne postępowanie możemy zastosować w jej przypadku. Zatem dzielimy liczbę 549 945 na trzy grupy cyfr 54 99 45 i tak jak poprzednio wstawiamy pomiędzy nie kolejno cyfry 5, 9, 4. Otrzymujemy 999 555 444 - 444 555 999 = 554 999 455. Jak widać otrzymaliśmy studnię liczb dziewięciocyfrowych. Można sprawdzić czy studnia liczb czterocyfrowych 6174 zachowuje się podobnie. Rozdzielmy cyfry tej liczby na 3 grupy: 6, 17, 4 i wstawmy pomiędzy nie kolejno cyfry 3, 6. Otrzymamy studnię liczb sześciocyfrowych 631 764. Powtarzając powyższe czynności dla liczby 631 764. Otrzymamy studnię liczb ośmiocyfrowych 63 317 664. 3 Liczby Kaprekara Badanie, czy dana liczba jest liczbą Kaprekara pokazuje poniższy przykład. Przykład 3. Zbadajmy liczbę 297. Wykonujemy nastepujące operacje: podnosimy liczbę do kwadratu, dzielimy cyfry otrzymanej na grupy, a następnie sprawdzamy czy suma liczb tych grup jest równa liczbie wyjściowej. 2972 = 88209, 88 + 209 = 297. 2 Co więcej podobnie zachowuje się liczba 703, która jest dopełnieniem 297 do 1000. Mamy zatem 7032 = 494209, 494 + 209 = 703. Podobnie zachowuje się liczba 99. 992 = 9801, 4 98 + 1 = 99. Liczby własne Liczby własne nazywane także liczbami Devlali to takie liczby całkowite zadane w danym systemie liczbowym (dziesiętnym, binarnym itd.), które nie powstaną w toku następującego postępowania: • Wybierz dowolną liczbę całkowitą; • Utwórz sumę, którą tworzą składniki: wybrana liczba oraz jej cyfry. Liczba 23 nie jest liczba własną, ponieważ można ją wygenerować zgodnie z podanym wcześniej algorytmem: 16 + 1 + 6 = 23.) Liczby własne zostały odkryte przez D. R. Kaprekara w 1949 r. (patrz [2]) 5 Materiały pomocnicze [ 1 ] Rościsław Rabczuk Algorytm i liczby Kaprekara, [ 2 ] http://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar. 3