Jakie tajemnice kryją liczby?

Jakie tajemnice kryją
liczby?
Podzielność liczb
3,4,6
Podzielność liczb
●
Liczba jest podzielna przez 11, jeśli po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych,
sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy liczbę podzielną przez 11. Nie ma
znaczenia, czy miejsca parzyste i nieparzyste liczymy od lewej, czy od prawej. Przykład:
Liczba 854073 → (8+4+7) – (5+0+3) = 19 – 8 = 11
854073 jest podzielna przez 11
·
Liczba jest podzielna przez 12, jeśli jest podzielna zarówno przez 3 jak i przez 4.
·
Liczba jest podzielna przez 15, jeśli jest podzielna zarówno przez 3 jak i przez 5.
·
Liczba jest podzielna przez 18, jeśli jest podzielna zarówno przez 2 jak i przez 9.
· Itp.
Liczba dzieli się przez 11, 12, 15, 18, itp. Jeżeli dzieli się przez liczby pierwsze z których się składa.
Liczba rozłożona na liczby pierwsze to iloczyn kilku liczb która da liczbę początkową.
Liczby trójkątne
Jak zdefiniować liczby trójkątne? Najlepiej opisać je na podstawie rysunku:
o Pierwszą liczbą trójkątną jest 1 – na rysunku to jedna kulka.
o Druga liczba trójkątna to 3 – na ilustracji do 1 kulki dorysowujemy warstwę 2 kulek poniżej pierwszej kulki.
Łącznie 3 kulki.
o Trzecia liczba trójkątna to 6 – na prezentacji do istniejących już 6 kulek dodajemy warstwę, w której jest o 1
kulkę więcej niż w dotychczasowej najliczniejszej warstwie.
o Takie rozumowanie kontynuujemy w nieskończoność.
Przykładowe liczby trójkątne :1, 3, 6, 10, 15,
Szósta liczba trójkątna wynosi :
Siódma liczba trójkątna wynosi :
1+2+3+4+5+6=21
1+2+3+4+5+6+7=28
Liczby kwadratowe
Liczby kwadratowe to liczby które powstały poprzez podniesienie do kwadratu innej liczby całkowitej.
Liczba kwadratowa wyraża ilość pewnych jednostek, za pomocą których możemy "wypełnić kwadrat".
Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb naturalnych. Pitagoras wykazał, że suma
kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1+3+5+7=
42
Liczba kwadratowa od 2 wynosi 4 bo 22 jest równe cztery.
Przykłady liczb kwadratowych: 4, 9, 16, 25 , 36, 49, 64, 81, 100
Liczby palindromiczne
Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa.
Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to:
7, 57775, 626, 1111111....
Występują: dwu, trzy, cztero, pięcio, sześciu, siedmiu, ośmiu…..cyfrowe liczby palindromiczne.
Liczby lustrzane
Liczby lustrzane to takie liczby które są odbiciem lustrzanym np.125 w 521,68 w 86,17 w 71.
21-12=9
32-23=9
45-54= -9 podzielne przez 9
123-321=-198 suma cyfr 18, podzielna przez 9
1685-5861=-4176 suma cyfr 18, podzielna przez 9
Różnica liczb lustrzanych jest zawsze podzielna przez 9.
Potęgowanie liczb składających się z jedynek
11^2=121
111^2=12321
1111^2=1234321
11111^2=123454321
111111^2=12345654321
=123456787654321
11111111^2
Jeśli potęgujemy liczbę składającą się
tylko z jedynek to cyfry z której składa
się liczba wzrastająca od 1 do sumy
jedynek w liczbie która potęgujemy a
potem maleją do jedynki
Cyfry Arabskie
●
Cyfry arabskie - właściwie cyfry indyjskie europeizowane – cyfry stosowane obecnie powszechnie
na całym świecie do zapisywania liczb . Są to kolejno znaki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oraz 9 i
pierwotnie służyły do zapisu liczb w systemie dziesiętnym . Obecnie wykorzystywane również w
pozostałych systemach.
●
System liczbowy indyjsko-arabski nazywany jest układem dziesiątkowym pozycyjnym.
Porównanie cyfr arabskich (hinduskich) i arabskich
europejskich.
System dziesiątkowy a pozycyjny
●
●
●
●
Dziesiątkowy – to znaczy taki, że każda następna jednostka wyższego rzędu zawiera 10
jednostek rzędu bezpośrednio niższego
np. setka zawiera 10 dziesiątków, tysiąc zawiera 10 setek itd.
Pozycyjny – dlatego że znaczenie cyfry jest zależne od miejsca (pozycji), które zajmuje ona
w liczbie
np. liczba 1115 zawiera trzy jednakowe cyfry, każda jednak ma zupełnie inne znaczenie: 1
umieszczona na drugim miejscu, licząc od prawej strony, oznacza liczbę 10, 1 znajdująca się na
trzecim miejscu od prawej strony oznacza liczbę 100, a cyfra 1 na początku liczby oznacza liczbę
1000.
Pochodzenie cyfr arabskich (hinduskich).
●
W Europie indyjsko-arabski system zapisywania cyfr pojawił się wraz z podbojami arabskimi w VIII
wieku n.e.
●
W Europie indyjsko-arabskiego zapisu cyfr miał włoski matematyk Leonardo Fibonacci, który swoją
wiedzę zdobywał w środowisku uczonych arabskich, podczas swoich podróży po Europie i krajach
Wschodu.
Leonardo Fibonacci
(1175-1250)
●
W 1202 roku wydał on książkę Liber Abaci. (co można przetłumaczyć jako Księga rachunków albo
Księga abaka)
●
Oprócz tego, że spopularyzował cyfry arabskie, to przedstawił w niej wiele ciekawych problemówzadań matematycznych. A to jeden z nich:
Dwa ptaki wylatują w tym samym momencie ze szczytów dwóch wież, odległych o 50 metrów.
Wysokość jednej wieży to 30 metrów, a drugiej – 40 metrów. Lecąc z tą samą prędkością, dolatują
w tym samym momencie do fontanny znajdującej się pomiędzy dwiema wieżami (na poziomie
gruntu, poziom 0). W jakiej odległości od podstawy każdej wieży znajduje się fontanna.
●
Babilon
-
Sześćdziesiątkowy system liczbowy - Był używany w Babilonie, i to już 1750 p.n.e., stąd dotarł
do Europy. Babilończycy zapożyczyli system od Sumerów.
Babilon - wykorzystywanie
Wykorzystywanie - Obecnie układ sześć dziesiątkowy jest używany w związku z jednostkami czasu.
Godzina dzieli się na 60 minut, minuta na 60 sekund.
Również powszechnie spotyka się układ sześć-dziesiątkowy przy podawaniu miar kątowych, a zwłaszcza
szerokości i długości geograficznej. Ułamki mają wtedy formę liczb całkowitych.
Egipt - historia
Starożytne cyfry egipskie - były używane w Egipcie aż do wczesnych lat pierwszego tysiąclecia naszej
ery. Był to system dziesiętny, często zaokrąglany w górę, zapisywany przy użyciu hieroglifów.
Historia - Kiedy Egipcjanie rozwinęli swoje pismo, hieroglify, dla większych liczb wymyślili specjalne
symbole. Liczby od 1 do 9 nadal zapisywano odpowiednią ilością pionowych kresek. Ale już 10
zapisywano specjalnym, pojedynczym znakiem – rysunkiem pięty.
Liczby Egipskie
Zapis - Liczby zapisywano w Egipcie tak jak i u nas, to jest od lewej do prawej, umieszczając obok siebie
jednostki danego rzędu, aż do jego wyczerpania.
Dodawanie liczebników hieroglifowych jest dosyć proste. Zliczamy poszczególne symbole, gdy zliczymy
pełną dziesiątkę jednakowych symboli, to zastępujemy ją hieroglifem wyższego liczebnika.
W ten sposób wykonywali swoje rachunki starożytni pisarze przy zliczaniu danin, podatków, stad bydła,
płodów rolnych, itp. Taki system zapisu liczb stosowany był powszechnie w Egipcie 3000 lat p.n.e.
Rzym
Rzymski system zapisywania liczb - system liczbowy, w podstawowej wersji używający 7 znaków.
Zastosowania - Cyfry rzymskie nadal bywają wykorzystywane do oznaczania miesięcy w zapisie daty,
mimo upowszechnienia się systemu opartego na cyfrach wyłącznie arabskich.Cyfry rzymskie
powszechnie stosuje się również w numeracji stuleci (np. XIX wiek), w imionach władców i papieży (np.
Jan Paweł II), nazwach wydarzeń historycznych (II wojna światowa).
Rzym
Sposób odczytu - Cyfry jednakowe są dodawane, cyfry mniejsze stojące przed większymi są
odejmowane od nich, cyfry mniejsze stojące za większymi są do nich dodawane.
MCLXIV = 1000(M) + 100(C) + 50(L) + 10(X) + 5(V) – 1(I) = 1164
Historia - System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie
przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest
jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych oraz nie pozwala na zapis
ułamków.
Sposób odczytu - Cyfry jednakowe są
dodawane, cyfry mniejsze stojące przed
większymi są odejmowane od nich, cyfry
mniejsze stojące za większymi są do nich
dodawane.
MCLXIV = 1000(M) + 100(C) + 50(L) + 10(X)
+ 5(V) – 1(I) = 1164
Historia
Historia - System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie
przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest
jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych oraz nie pozwala na zapis
ułamków.
Twórcy prezentacji:
-
Jakub Hałuszczak
Andrzej Brzyski
Patyk Cebula
Wojtek Vuhung
Źródła:
Wikipedia
Google