VI Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich

VI Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich
Teksty zadań
1. Wyznaczyć wszystkie trójki (x, y, z) liczb całkowitych dodatnich spełniające układ równań
(
x2 = 2(y + z)
x6 = y 6 + z 6 + 31(y 2 + z 2 ).
2. Niech a i k będą takimi liczbami całkowitymi dodatnimi, że a2 + k jest dzielnikiem liczby
(a − 1)a(a + 1). Udowodnić, że k > a.
3. Liczby całkowite dodatnie a, b, c są parami względnie pierwsze oraz spełniają równanie a2 +b2 =
c2 . Liczby a i c są nieparzyste. Udowodnić, że b + c jest kwadratem liczby całkowitej.
4. Jaś jest starszy od Małgosi. Jeśli przestawimy obie cyfry liczby całkowitej wyrażającej wiek Jasia, to otrzymamy wiek Małgosi. Ponadto różnica kwadratów liczb wyrażających wiek każdego
z nich jest kwadratem liczby całkowitej. Ile lat ma Jaś, a ile Małgosia?
5. Niech a < b < c będą trzema liczbami całkowitymi dodatnimi. Dowieść, ze wśród dowolnych 2c
kolejnych liczb całkowitych dodatnich istnieją takie trzy różne liczby całkowite dodatnie x, y, z,
że iloczyn abc jest dzielnikiem iloczynu xyz.
6. Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c, d spełniona jest nierówność:
a+c b+d c+a d+b
+
+
+
­ 4.
a+b b+c c+d d+a
7. Dowieść, że sin3 18◦ + sin2 18◦ = 18 .
8. Liczby rzeczywiste a, b i c spełniają następujące nierówności:
|a| ­ |b + c|, |b| ­ |c + a| oraz |c| ­ |a + b|.
Udowodnić, że a + b + c = 0.
9. Wykazać, że:
1995 1994 1993
2
1
1
3
1995
−
+
− ··· −
+
=
+
+ ··· +
.
2
3
4
1995 1996
999 1000
1996
10. Wyznaczyć wszystkie takie funkcje f określone na zbiorze liczb rzeczywistych różnych od zera,
że:
(1) f (1)
=1
1
(2) f x+y
= f x1 + f y1
dla x, y, x + y ∈ R \ {0}
(3) (x + y) · f (x + y) = xy · f (x) · f (y) dla x, y, x + y ∈ R \ {0}.
11. Na ile sposobów można rozbić zbiór liczb całkowitych {1, 2, ..., 1995} na trzy niepuste podzbiory,
z których żaden nie zawiera dwóch kolejnych liczb całkowitych?
12. W 95 urnach umieszczono w dowolny sposób 19 kul. Dobieramy 6 nowych kul i wrzucamy po
jednej z nich do 6 wybranych urn. Czy powtarzając ten proces odpowiednią liczbę razy można
dojść do tego, że w każdej z danych urn będzie jednakowa liczba kul?
13. Dwie osoby grają w następującą grę. Na stole znajduje się pewna liczba żetonów. Obaj gracze
wykonują swe ruchy kolejno. Ruch gracza polega na tym, że bierze on ze stołu x żetonów,
gdzie x jest kwadratem liczby całkowitej dodatniej. Przegrywa ten gracz, dla którego zabraknie
żetonów. Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele sytuacji początkowych, w których drugi gracz
(nie ten, który zaczyna grę) może wygrać niezależnie od postępowania swego przeciwnika.
1
14. Na płaszczyźnie pokrytej siatką trójkątów równobocznych znajduje się n pcheł. Początkowo
pchły są w różnych trójkątach, z których każdy leży wewnątrz pewnego trójkąta równobocznego złożonego z n2 trójkątów siatki. Co sekundę każda pchła skacze z trójkąta, w którym się
znajduje, do jednego z trzech trójkątów siatki mających z owym trójkątem wspólną oś symetrii oraz wspólny wierzchołek, ale nie wspólny bok. Dla jakich liczb całkowitych dodatnich n
istnieje taka konfiguracja początkowa, dla której po skończonej liczbie sekund wszystkie pchły
znajdą się w jednym trójkącie siatki?
15. Dany jest wielokąt mający 2n + 1 wierzchołków. Wykazać, że można tak ponumerować wierzchołki i środki boków tego wielokąta używając wszystkich liczb 1, 2, . . . , 4n + 2, aby dla każdego
boku sumy trzech przyporządkowanych mu liczb były jednakowe.
16. W trójkącie ABC prosta l zawiera dwusieczną kąta zewnętrznego przy wierzchołku C. Prosta
przechodząca przez środek boku AB i równoległa do l przecina prostą AC w punkcie E. Obliczyć
|CE|, wiedząc, że |AC| = 7 oraz |CB| = 4.
17. Udowodnić, że istnieje taka liczba α, że w każdym trójkącie ABC zachodzi nierówność
max{ha , hb , hc } ¬ α · min{ma , mb , mc },
gdzie ha , hb , hc są jego wysokościami, zaś ma , mb , mc — jego środkowymi. Znaleźć najmniejszą
możliwą wartość α.
18. W trójkącie ABC punkt M jest środkiem boku AC, zaś H jest spodkiem wysokości opuszczonej
z wierzchołka B. Punkty P i Q są odpowiednio rzutami prostokątnymi wierzchołków A i C na
dwusieczną kąta B. Udowodnić, że punkty M , H, P i Q leżą na jednym okręgu.
19. Podczas treningu astronautów używa się urządzenia skonstruowanego w następujący sposób.
Okrąg C2 o promieniu 2r toczy się wewnątrz nieruchomego okręgu C1 o promieniu nr, gdzie
n jest liczbą całkowitą większą od 2. Astronauta jest przymocowany do trzeciego okręgu C3
o promieniu r, który toczy się wewnątrz okręgu C2 w taki sposób, że przez cały czas punkt
styczności okręgów C2 i C3 pozostaje w maksymalnej odległości od punktu styczności okręgów
C1 i C2 . Ile obrotów (względem Ziemi) wykona astronauta obracając się razem z okręgiem C3
w czasie, gdy okrąg C2 wykona jedno pełne okrążenie wewnątrz okręgu C1 ?
20. Wykazać, że jeżeli obie współrzędne każdego z wierzchołków pięciokąta wypukłego są liczbami
całkowitymi, to jego pole jest nie mniejsze do 5/2.
2