Liczby całkowite

Liczby całkowite
1. Wprowadzenie
Do zbioru liczb całkowitych należą wszystkie liczby naturalne i
wszystkie liczby do nich przeciwne. Zbiór liczb całkowitych jest
zbiorem nieskończonym. Oznaczany jest jako C lub Z. Nie istnieje
najmniejsza i największa liczba całkowita. Zbiór ten dzieli się na
podzbiór liczb naturalnych, tj. liczb całkowitych dodatnich, podzbiór
liczb całkowitych ujemnych oraz podzbiór złożony ze zbioru
jednoelementowego - z liczby zero.
Prócz działań dodawania i odejmowania, na liczbach całkowitych jest
określone jeszcze działanie mnożenia, natomiast dzielenie nie jest
wykonalne w zbiorze tych liczb, tzn. iloraz dwóch liczb całkowitych
może nie być liczbą całkowitą. Liczby całkowite stanowią pierścień
względem działań dodawania i mnożenia.
2. Liczby naturalne
Liczby naturalne jak wiadomo, oznaczają zbiór liczb {0,1,2,3,…,55,…} .
W Polsce przyjęło się oznaczać zbiór liczb naturalnych za pomocą
N, jednakże w nomenklaturze międzynarodowej spotyka się także
oznaczenie zbioru liczb naturalnych jako Z+ .
Zatem
N={0,1,2,3,…,55,…}
lub
Z+= {0,1,2,3,…,55,…}
Wśród matematyków trwa dyskusja czy 0 także zaliczać do zbioru liczb
naturalnych, przez co można spotkać się z zapisem
N={0,1,2,3,…,55,…}
jak i
N={1,2,3,…,55,…}
Zawsze warto zapytać nauczyciela jaką szkołę preferuje.
Jednoznaczny jest za to zapis:
N+={0,1,2,3,…,55,…}
co w praktyce oznacza zbiór liczb naturalnych dodatnich.
3. Liczby przeciwne
W zbiorze liczb całkowitych możemy określić pojęcie liczb przeciwnych.
Otóż: Dwie liczby a i b nazywamy liczbami przeciwnymi jeżeli
a+b=0. Liczby -5 i 5 znajdują się na osi liczbowej w tej samej
odległości od zera, po przeciwnych jego stronach. O liczbach
przeciwnych możemy powiedzieć, że mają przeciwne znaki, ale
taką samą wartość bezwzględną.
Bezwzględna wartość liczby -5 to 5.
Bezwzględna wartość liczby 5 to 5.
Liczba nieujemna i jej bezwzględna wartość są sobie równe.
Bezwzględna wartość liczby ujemnej to liczba do niej przeciwna.
4. Przykłady
Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych
3+5=8
(-3) + (-5) = -8
(-3) + 5 = 5 - 3 =2
3 + (-5) = 3 - 5 = -2
Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych
a · b = + (a · b)
(-a) · (-b) = +(a · b)
a · (-b) = -(a · b)
(-a) · b = -(a · b)
5. Ciekawostki
W dawnych polskich podręcznikach liczby dodatnie zapisane ze
znakiem + oraz liczby ujemne nazywano liczbami względnymi.
Nazwa wzięła się zapewne stąd, że znak+ lub -, który przypisany
jest liczbie, określa jej położenie względem zera. W przeciwieństwie
do liczb względnych, liczby nie mające znaków nazywano liczbami
bezwzględnymi. Stąd też pochodzi nazwa wartość bezwzględnajeśli liczbę względną zapiszemy be znaku, otrzymamy jej wartość
bezwzględną.
W starożytności ani rachmistrze babilońscy czy egipscy, ani greccy
myśliciele oraz arabowie nie mieli ogólnej idei liczb ujemnych.
Pierwszymi, którzy stosowali ilości ujemne, byli matematycy
indyjscy. W VI i VII w. n. e. Używali ich dla potrzeb rachunkowych,
mianowicie długi zapisywano jako wartości ujemne. Na zachodzie
liczby ujemne pojawiły się dopiero w XV wieku jako osobne byty
numeryczne, którym jednak odmawiano istnienia w postaci liczb.
Otrzymały nazwę numeri absurdi i nie były uważane za możliwe
rozwiązanie równania. Dopiero w XVII wieku angielski matematyk
John Wallis zastosował współrzędne ujemne do punktów krzywej.
6. Podsumowanie
Liczby całkowite to według mojej oceny jeden z ciekawszych działów
matematyki. Co prawda działania na tym zbiorze liczb są
ograniczone, ale bardzo przydatne w życiu. Odnalezienie informacji
w Internecie na temat działu „liczby całkowite” nie sprawiło mi
większej trudności. Na kilku stronach internetowych znalazłam
wiarygodne informacje dotyczące w/w działu. Większość
znalezionych przeze mnie ciekawostek i informacji pokrywa się ze
stroną internetową „www.math.edu.pl” oraz podręcznikiem do nauki
matematyki. Weryfikacja znalezionego materiału sprawiła mi
niewielkie trudności.
Dziękuję za uwagę
Źródła:
- Matematyka 6 – podręcznik
- math.edu.pl
- matematyka.net
- medianauka.pl
- matematyka.pl