pytaniatopologia

Tematy/pytania na egzamin ustny z topologii
1. metryka, przestrzeń metryczna.
2. podprzestrzeń
3. kula otwarta
4. punkt wewnętrzny
5. punkt brzegowy
6. punkt graniczny
7. punkt skupienia
8. punkt izolowany
9. zbiór otwarty
10. zbiór domknięty
11. zbiór brzegowy
12. zbiór gęsty
13. odległość punktu od zbioru
14. odległość zbiorów
15. funkcja ciągła
16. funkcja ciągła jednostajnie
17. ciąg zbieżny
18. ciąg ograniczony
19. zbiór ograniczony
20. przestrzeń całkowicie ograniczona
21. funkcja ograniczona
22. ciąg Cauchy
23. przestrzeń zupełna
24. Twierdzenie Baire’a
25. przestrzeń ośrodkowa
26. przestrzeń zwarta
27. Twierdzenia o funkcjach ciągłych na przestrzeni zwartej
28. przestrzeń spójna
29. Twierdzenie o sumie zbiorów spójnych i domknięciu zbioru spójnego
30. Twierdzenie o funkcji ciągłej na zbiorze spójnym
31. przestrzeń lokalnie spójna
32. składowa spójności
33. iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych, metryka w iloczynie kartezjańskim
34. iloczyn przestrzeni zwartych; spójnych; zupełnych; ośrodkowych; całkowicie
ograniczonych
35. funkcja ciągła w iloczyn przestrzeni metrycznych
Przykładowe zadania na egzamin pisemny z topologii
1. Udowodnić, że ciąg Cauchy jest ograniczony.
2. Udowodnić, że ciąg ma najwyżej jedną granicę.
3. Udowodnić, korzystając tylko z definicji, że jeśli F jest taką funkcją dla której
przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest otwarty to obraz każdego ciągu zbieżnego
jest zbieżny.
4. Udowodnić, że podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest domknięty.
5. Udowodnić, że jeśli F:X→Y jest funkcją ciągłą to jej wykres jest domknięty w
iloczynie kartezjańskim przestrzeni X i Y.
6. Udowodnić, że jeśli F:X→Y jest jednostajnie ciągła to obraz ciągu Cauchy jest
ciągiem Cauchy.
7. Udowodnić, że suma dwóch zbiorów zwartych jest zbiorem zwartym.
8. Udowodnić, że jeśli zbiory A i B są spójne i nie są rozłączne to ich suma jest spójna
(nie wolno korzystać z twierdzeń 29 z części pierwszej)
Uwaga. Wszystkie definicje i sformułowania twierdzeń z części pierwszej (tematy do
egzaminu ustnego) trzeba znać na egzaminie pisemnym. Radzę również umieć udowodnić
powyższe przykłady zadań. Niektóre mogą się pojawić na egzaminie pisemnym.