Matematyka – wybrane zagadnienia

Matematyka – wybrane zagadnienia
Lista nr 4
Zadanie 1
Jeżeli układ wektorów v1,…vn przestrzeni liniowej V nie jest liniowo niezależny, to
mówimy, że wektory v1,…vn są liniowo zależne. Udowodnić następujące twierdzenie:
Układ wektorów v1,…vn (n  2) jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy gdy jeden z
wektorów v1,…vn jest kombinacją liniową pozostałych.
Zadanie 2
Niech (x1,y1) oraz (x2,y2) będą dwoma dowolnie ustalonymi elementami przestrzeni R2,
takimi że punkty (x1,y1), (x2,y2) oraz (0,0) są niewspółliniowe. Wykazać, że elementy
(x1,y1) i (x2,y2) tworzą bazę przestrzeni R2.
Zadanie 3
Niech a, b  R będzie przedziałem domkniętym. Rozważmy zbiór funkcji
całkowalnych z kwadratem na odcinku, czyli
b


2
L2 a, b :   f :a, b  R :  f  x  dx istnieje  .
a


2
a) Niech f , g  L a, b . Udowodnić następującą nierówność Schwarza
2
b
 b 2
 b 2

  f t g t dt     f t dt     g t dt  .
a
 a
 a

b) Korzystając z nierówności Schwarza wykazać, że L2 a, b jest przestrzenią
liniową.
Zadanie 4
Wykazać, że następujące funkcje są metrykami na podanych zbiorach:
a) X dowolny niepusty zbiór:
 : X  X  0,,
0 , gdy x  y
1 , gdy x  y
  x, y   
(tzw. metryka dyskretna).
b) R2
 : R2  R2  0,,
 x1, y1 , x2 , y2   x2  x1  y2  y1
(tzw. metryka taksówkarza)
c) C (zbiór liczb zespolonych)
 : C  C  0,,
 z1, z2   z1  z2 , gdzie z oznacza moduł liczby
zespolonej z.
Zadanie 5
a) Niech x1 ,..., xn  oraz  y1 ,..., yn  będą dwoma elementami przestrzeni Rn.
Udowodnić następującą nierówność zwaną nierównością Cauchy’ego:
2
 n
  n   n

  xk yk     xk2     yk2  .
 k 1
  k 1   k 1 
b) Korzystając z nierówności Cauchy’ego wykazać, że funkcja
 x1 ,..., xn ,  y1 ,..., yn  
n
y
k 1
k
 xk 
2
jest metryką w Rn .
Zadanie 6
Niech X , 
 będzie przestrzenią unormowaną. Wykazać, że funkcja
 x, y   x  y jest metryką w X.
Zadanie 7
Niech x1 ,..., xn  będzie elementami przestrzeni Rn . Wykazać, że
x1,..., xn 
 x12  x22  ...  xn2
jest normą w Rn .
Zadanie 8
Niech f  L2 a, b . Wykazać, że
b
f 
 f t dt
2
a
jest normą w L2 a, b.
Zadanie 9
Niech X , 
 będzie przestrzenia unormowaną. Wykazać, że jeżeli lim x
lim xn  x0 .
n 
Koniec listy nr 4.
n
n
 x0 , to