Lista 4. 1. Sprawdzić liniową zależność układu A wektorów

Lista 4.
1. Sprawdzić liniową zależność układu A wektorów przestrzeni liniowej V nad ciałem
K jeżeli:
(1) A = {[1, −2], [2, 3]}, V = K 2 , K = R;
(2) A = [−1, −2], [−2, 1], [1, 0], V = K 2 , K = R;
(3) A = {[2, 1, 0], [0, 2, 1], [1, 0, 2]}, V = K 3 , K = Z3 ;
(4) A = {[2,√
1, 0],√[0, √
2, 1], [1, 0, 2]}, V = K 3 , K = Z5 ;
(5) A = {1, 2, 3, 5}, V = R, K = Q;
2. Wyznaczyć wszystkie wartości λ, dla których wektor w jest kombinację liniową
wektorów v1 , v2 , v3 :
(1) v1 = [2, 3, 5], v2 = [3, 7, 8], v3 = [1, −6, 1], w = [7, −2, λ];
(2) v1 = [3, 2, 5], v2 = [2, 4, 7], v3 = [5, 6, λ], w = [1, 3, 5].
3. Niech V oznacza przestrzeń funkcji rzeczywistych ciągłych na R. Sprawdzić liniową
zależność układów funkcji:
(1) A = {1, sin x, cos x};
(2) A = {sin x, sin 2x, sin 3x};
(3) A = {1, cos 2x, sin 2x}.
4. W przestrzeni liniowej V = K n nad ciałem K określamy podzbiór
W = {[x1 , x2 , ..., xn ] | x1 + x2 + ... + xn = 0}.
(1) Wykazać, że W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V ;
(2) Podać przykład bazy przestrzeni W ;
(3) Rozszerzyć bazę podprzestrzeni W (z punktu (b)) do bazy przestrzeni V .
5. Niech R[x]n oznacza zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej n.
(1) Wykazać, że R[x]n jest przestrzenią liniową nad R;
(2) Wykazać, że W = {f (x) ∈ R[x]n | f (1) = 0} jest podprzestrzenią przestrzeni
liniowej R[x]n . Wyznaczyć wymiar W .
(3) Wykazać, że zbiór wielomianów stopnia co najwyżej n, dla których liczba 1
jest co najmniej k-krotnym pierwiastkiem, jest podprzestrzenią przestrzeni
liniowej R[x]n . Znaleźć wymiar tej przestrzeni.
6. Znaleźć współrzędne wektora v ∈ V w bazie B przestrzeni V , jeśli
(1) V = R3 , v = [1, 2, 3], B = {[1, 1, 1], [1, 1, 0], [1, 0, 0]};
(2) V = K n , v = [n, n−1, n−2, ..., 2, 1], B = {η1 , η2 , ..., ηn }, gdzie ηk = e1 +...+ek ,
dla k = 1, 2, ..., n.
7. Wyznaczyć wszystkie bazy i wszystkie podprzestrzenie 2-wymiarowej przestrzeni
liniowej V nad ciałem Z3 .
8. Ile elementów ma n-wymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem p-elementowym?
9. Niech dany będzie układ k wektorów przestrzeni Rn :
vi = [xi1 , xi2 , . . . , xin ], i = 1, 2, . . . , k
1
gdzie k ≤ n. Wykazać, że jeśli
k
X
|xij | < 2|xjj |
i=1
dla każdego j = 1, 2, . . . , k, to dany układ wektorów jest liniowo niezależny.
2