Wykład 4 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Niech (V, +

Wykład 4
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Niech (V, +) - przestrzeń liniowa nad ciałem K. Niech α1 , α2 , . . . , αk ∈ K, v1 , v2 , . . . , vk ∈ V .
Definicja 1 Układ wektorów B = (v1 , v2 , . . . , vk ) nazywamy bazą (skończoną) przestrzeni V , jeśli
1. układ (v1 , v2 , . . . , vk ) jest liniowo niezależny,
2. Lin(v1 , v2 , . . . , vk ) = V .
Uwaga. Każda przestrzeń liniowa ma bazę (niekoniecznie złożoną ze skończonej liczby wektorów). Nas
będą interesowały tylko bazy skończone.
Twierdzenie 2 Dla dowolnego układu wektorów B = (v1 , v2 , . . . , vk ) przestrzeni V nad ciałem K,
następujące warunki są równoważne:
1. B jest bazą
2. B jest maksymalnym układem liniowo niezależnym
3. każdy wektor v ∈ V ma jednoznaczne przedstawienie w postaci
v = α1 · v1 + · · · + αk · vk ,
gdzie αi ∈ K, i = 1, . . . , k.
Uwaga. Jeżeli przestrzeń liniowa V nad ciałem K ma skończoną bazę liczącą n wektorów, to każda
baza tej przestrzeni liczy n wektorów.
Definicja 3 Liczbę elementów bazy B przestrzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy wymiarem
przestrzeni V i oznaczamy przez dimV .
Jeżeli przestrzeń liniowa V nie ma skończonej bazy, to przyjmujemy dimV = ∞.
Uwaga. dim{O} = 0.
Twierdzenie 4 Jeżeli W jest podprzestrzenią liniową skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V ,
to
1. dimW ¬dimV
2. dimW =dimV
⇒ W =V.
Definicja 5 Niech B = (v1 , v2 , . . . , vk ) będzie bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K i niech v ∈ V .
Skalary α1 , α2 , . . . , αk ∈ K nazywamy współrzędnymi wektora v w bazie B, gdy
v = α1 · v1 + α2 · v2 + · · · + αk · vk .
Oznaczenie. v = (α1 , α2 , . . . , αk )B
Uwaga. Współrzędne wektora v w bazie B są wyznaczone jednoznacznie.
Definicja 6 Dla przestrzeni liniowej Kn nad ciałem K określamy bazę kanoniczną jako układ
E = (e1 , e2 , . . . , en ), gdzie e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1).
Przekształcenia liniowe
Niech (V, +), (W, ⊕) będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K.
1
Definicja 7 Przekształcenie φ : V → W nazywamy przekształceniem liniowym, jeśli spełnione są
warunki:
1. ∀u, v ∈ V φ(u + v) = φ(u) ⊕ φ(v)
2. ∀α ∈ K ∀v ∈ V φ(α ·V v) = α ·W φ(v)
Uwaga. Superpozycja przekształceń liniowych jest przekształceniem liniowym.
Własności przekształceń liniowych
(V, +), (W, ⊕) - przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem K, φ : V → W - przekształcenie liniowe.
1. ∀α1 , . . . , αn ∈ K
∀v1 , . . . , vn ∈ V
φ(α1 v1 + · · · + αn vn ) = α1 φ(v1 ) ⊕ . . . ⊕ αn φ(vn ).
2. φ(OV ) = OW , gdzie OV , OW - wektory zerowe odpowiednich przestrzeni.
3. φ(−v) = −φ(v).
Uwaga. Jeżeli w = α1 v1 + · · · + αn vn , αi ∈ K, vi ∈ V , dla i = 1, . . . , n i układ wektorów {v1 , . . . , vn }
jest lnz, to αi są wyznaczone jednoznacznie, czyli
α1 v1 + · · · + αn vn = β1 v1 + · · · + βn vn ⇒ αi = βi , i = 1, . . . , n.
Twierdzenie 8 Jeżeli dimV = n i {v1 , . . . , vn } - baza V , to dla każdej przestrzeni liniowej W i
wektorów w1 , . . . , wn ∈ W istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe φ : V → W , takie że φ(vi ) =
wi dla i = 1, . . . , n.
Wniosek 9 Jeżeli dimV = n i {v1 , . . . , vn } - baza V oraz istnieją przekształcenia liniowe φ : V → W ,
ψ : V → W , takie że φ(vi ) = ψ(vi ) dla każdego i = 1, . . . , n, to φ = ψ.
4. Jeżeli V1 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V i φ : V → W - przekształcenie liniowe, to
φ(V1 ) = {φ(v) : v ∈ V1 } jest podprzestrzenią liniową przestrzeni W .
5. Jeżeli W1 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni W , to φ−1 (W1 ) = {v ∈ V : φ(v) ∈ W1 } jest
podprzestrzenią liniową przestrzeni V .
W szczególności:
(a) {OW } - podprzestrzeń liniowa przestrzeni W , stąd φ−1 ({OW }) = {v ∈ V : φ(v) = OW } jest
podprzestrzenią przestrzeni V , nazywamy ją jądrem przekształcenia liniowego φ, ozn. ker φ.
(b) φ(V ) = {φ(v) : v ∈ V } jest podprzestrzenią przestrzeni W , nazywamy ją obrazem przekształcenia
liniowego φ, ozn. Imφ.
Uwaga. Niech φ : V → W przekształcenie liniowe. Jeśli φ(v1 ) = φ(v2 ) dla v1 , v2 ∈ V , to v1 −v2 ∈ ker φ.
Uwaga. OV ∈ ker φ dla dowolnego przekształcenia liniowego φ : V → W .
Twierdzenie 10 Przekształcenie liniowe φ : V → W jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy, gdy
ker φ = {OV }.
2