Grupa – zbiór niepusty G, na którym określono pewne łączne

Grupa – zbiór niepusty G, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe
wewnętrzne1 º i w którym spełnione są poniższe warunki:
1) łączność º : dla dowolnych a,b,c ∈G
a º (b º c) = (a º b) º c
2) istnieje element neutralny e∈G, taki, że dla dowolnego a∈G
a º e = e º a=a
3) dla dowolnego a∈G istnieje element odwrotny2 do niego a'∈G, taki, że
a º a' = a' º a = e
Grupa jest przemienna, jeśli dla dowolnych a,b∈G
aºb=bºa
Przykłady:
• (R+, •) - zbiór liczb rzeczywistych dodatnich z operacją mnożenia
• zbiór wektorów na płaszczyźnie euklidesowej z działaniem dodawania wektorów
• (Z, +) - zbiór liczb całkowiych z operacją dodawania
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ciało (przemienne) – zbiór K ze zdefiniowanymi działaniami dwuargumentowymi
wewnętrznymi – dodawaniem i mnożeniem, w którym spełnione są poniższe warunki:
1) (K,+) jest grupą przemienną z elementem neutralnym 0
2) (K\{0}, •) jest grupą przemienną z elementem neutralnym 1
3) dla dowolnych a,b,c ∈K
a•(b+c)=a•b+a•c
(rozdzielność mnożenia względem dodawania)
4) 1≠0
Przykłady:
•
(R,+, •)
•
( Zp, +,• , 0, 1), gdzie p jest liczbą pierwszą, Zp={0,1, …,p-1}, zaś działania + i • są
następujące:
a + b = reszta z dzielenia sumy przez p
a • b = reszta z dzielenia iloczynu przez p
np. zbiór Z2={0,1} , a+b=c(mod p), a•b=c(mod p)
+
0
1
0
0
1
1
1
0
1 dziedzina funkcji jest potęgą przeciwdziedziny
2 dla zapisu multiplikatywnego mówimy o elemencie odwrotnym (a-1), zaś dla zapisu addytywnego mówimy o
elemencie przeciwnym (-a),
•
0
1
0
1
0
0
0
1
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Przestrzeń liniowa (wektorowa) V nad ciałem K3 - niepusty zbiór z określonym
działaniem wewnętrznym + (VxV→V), oraz działaniem zewnętrznym • (KxV→V)
w którym spełnione są warunki
1) łączność +: dla dowolnych a,b,c ∈V
a+(b+c)=(a+b)+c
2) istnieje element neutralny dla +, zwany 0 taki, że dla dowolnego a∈V
a + 0 = 0 + a=a
3) dla dowolnego a∈V istnieje element przeciwny a' taki, że:
a + a' = a' + a = 0
4) dla dowolnych a,b ∈V, k∈K
k• ( a + b) =k • a + k • b rozdzielność mnożenia wzg. dodawania (skalarów)
5) dla dowolnych a∈V, k ,k ∈K
(k1+k2)• a= k1• a+k2• a rozdzielność mnożenia wzg. dodawania (wektor)
1
2
6) dla dowolnych a∈V, k1,k2∈K
k1•(k2• a)= (k1• k2)• a
7) istnieje element neutralny dla • , zwany 1, taki, że dla dowolnego a∈V
1• a=a
Przykład:
• zbiór wektorów swobodnych z dodawaniem wektorów i mnożeniem wektorów przez
liczby rzeczywiste (przestrzeń wektorowa nad ciałem R)
Kombinacja liniowa elementów vi∈V – wyrażenie k1• v1+ k2• v2 +...+kn• vn
Układ wektorów liniowo niezależnych v1, v2,...,vn∈V (V – przestrzeń liniowa nad zbiorem
K) – układ wektorów, dla których spełniony jest warunek, że dla dowolnych skalarów k1,
k2,...,kn równanie k1• v1+ k1• v1 +...+kn• vn=0 ma tylko rozwiązanie zerowe (ki=0, i=1,...,n)
(żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych
wektorów ze zbioru)
Przykład:
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)
Baza – maksymalnie liczny podzbiór wektorów liniowo niezależnych
Wymiar – liczba elementów bazy
3 elementy przestrzeni V określamy wektorami, elementy ciała K określamy skalarami.