Przestrzenie liniowe (wektorowe) (kończenie wymiarowe). Ciało

Przestrzenie liniowe (wektorowe) (kończenie wymiarowe).
Ciało
Dowolny zbiór przynajmniej dwuelementowy K z zadanymi odwzorowaniami (zwane działaniami):
K ×K  K : x , y  x y
K × K  K : x , y  x⋅y
Oraz wyróżniono dwa elementy zbioru K, element zerowy 0 oraz element jedynkowy 1.
Działania muszą spełniać następujące własności:
'+' musi być łączne, przemienne, element neutralny – 0, istnieje element odwrotny.
Drugie działania jest również łączne, przemienne, element neutralny 1, istnieje element
odwrotny (z wyłączeniem elementu 0), rozdzielność względem dodawania.
Zbiór liczb rzeczywistych z działaniami mnożenia i dodawania jest ciałem.
Przestrzeń liniowa (wektorowa)(nad ciałem K – to znaczy, że elementy wektora pochodzą z K).
Zbiór V z odwzorowaniami:
V ×V  V :  ,   zwany dodawaniem wektorów
K ×V V :a ,  a 
zwany mnożeniem wektora przez skalar
Dodawania wektorów jest łączne, przemienne, element neutralny – wektor 0, istnieje wektor
przeciwny, mnożenie jest rozdzielne względem dodawania wektorów i skalarów, mnożenie przez
skalar jest łączne, a 1 jest jego elementem neutralnym.
Podrzestrzeń
Zbiór W ⊂V jeżeli dla każdych  , ∈W oraz każdego
a∈ K :
∈W
a ∈W
Baza przestrzeni liniowej
Układ wektorów 1, ... , k nazwiemy bazą przestrzeni liniowej, jeżeli jest on liniowo niezależny,
o raz rozpina on przestrzeń V, co oznaczamy V =lin1, ... ,k  .
Zastaw wektorów 1, ... , k jest bazą, wedyt i tylko wtedy, każdy wektor z V da się jednoznacznie
wyznaczyć jako kombinację linjową wektrów 1, ... , k .
Rząd macierzy jest równy wymiarowi przestrzeni rozpinanej przez kolumny (lub wiersze) tej
macierzy!
Przekształcenie liniowe.
Niech V,W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Funkcję  :V  W nazywamy
przekształceniem liniowym jeśli jeżeli dla każdych  , ∈W oraz każdego a∈ K zachodzi:
=
a =a 
Suma przestrzeni liowych
Jeśli X 1, X 2 są dowolnymi podzbiorami V, to sumę X 1  X 2 będziemy nazywali zbiór
{1 2 ∨1 ∈ X 1, 2 ∈ X 2 }
Jeśli V 1, V 2 są podprzestrzeniami V, to ich suma jest również podprzestrzenią V.
Suma prosta
Jeśli V 1, V 2 są podprzestrzeniami V. Wówczas:
V 1 ⊕V 2 ⇐V =V 1 V 2 ∧V 1∩V 2={0 } jest sumą prostą.
Iloczyn skalarny wektorów
n
 ' =∑i=1 ai bi
n
 ' =∑i=1 ai
2
kwadrat długości wektora  .
Iloczyn skalarny możemy rozumieć jako iloczyn długości rzutu  (wektora powstałego przez
rzut prostopadły wektora  na przestrzeń rozpiętą przez wektor  ) przez długość wektora
 .
cos , =
' 
 '   ' 
Miarą „pokrywania się” (współliniowości) wektorów może być właśnie kosinus kąta między nimi.
Miara ta jest niezależna od długości wektorów.
Kosinus kąta między wektorami jest równy zero dla wektorów prostopadłych.
Ortogonalność
Wektory nazwiemy ortogonalnymi (prostopadłymi) jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy zero.
Rzut
Niech V =V 1 ⊕V 2 , co oznacza, że każdy ∈V jest jednoznacznie wyznaczony jako
=1  2 : 1 ∈V 1 ∧2 ∈V 2 , wówczas przekształcenie  :V  V 1 określone =1
nazwiemy rzutem na V 1 wzdłuż V 2 .
Jeśli dodatkowo elementy należące do V 2 będą ortogonalne do wszystkich elementów V 1 to
rzut nazwiemy rzutem prostopadłym.
Macierz ortogonalna
Macierz, której kolumny stanowią układ wektorów ortogonalnych.
Macierz ortogonalna do danej
Macierze A nazwiemy ortogonlaną do macierzy B, jeżeli kolumny macierzy A będą stanowiły
wektory ortogonalne do kolumn macierzy B, to jest:
A ' B=0