Przyk*adowe pytania z algebry dla studentów informatyki PK

Przykładowe pytania z algebry dla studentów informatyki PK
1. Jaką relację nazywamy zwrotną?
2. Jaką relację nazywamy przechodnią?
3. Co to jest klasa równoważności? Kiedy możemy ją utworzyć?
4. Jakie odwzorowanie nazywamy złożeniem odwzorowań?
5. Wypisać wszystkie relacje określone na zbiorze A = {a, b}.
6. Czy relacja 𝑅 = {(𝑎, 𝑎)} określona na zbiorze 𝐴 = {𝑎, 𝑏} jest zwrotna?
7. Podać i uzasadnić wzór na odwzorowanie odwrotne do złożenia odwzorowań.
8. Co nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do danego? Kiedy istnieje?
9. Podać wzór na kąt między wektorami.
10. Jakie jest położenie wektora [A, B, C] względem płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0?
11. Jakie jest położenie wektora v = [vx , vy , vz] ] w stosunku do prostej:
x = 𝑥0 + tvx , y = y0 + tvy , z = z0 + tvz ?
12. Jakie jest warunek prostopadłości prostej x = 𝑥0 + tvx , y = y0 + tvy , z = z0 + tvz
do płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0?
13. Jakie jest warunek równoległości prostej x = 𝑥0 + tvx , y = y0 + tvy , z = z0 + tvz
do płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0?
14. Podać wzór na cosinus kąta między wektorami .
15. Podać definicję i własności iloczynu skalarnego wektorów.
16. Podać definicję i własności iloczynu wektorowego wektorów.
17. Podać definicję i własności iloczynu mieszanego wektorów.
18. Jak obliczamy odległość punktu od płaszczyzny?
19. Jak obliczamy kąt miedzy wektorami?
20. Jak obliczamy kąt miedzy płaszczyznami?
21. Wymienić dwie własności iloczynu wektorowego.
22. Wymienić dwie własności iloczynu skalarnego.
23. Co to jest skośna symetria iloczynu wektorowego?
24. Znaleźć wektor prostopadły do płaszczyzny przechodzącej przez 3 punkty A, B, C ∈ ℝ3
nie leżące na jednej prostej.
25. Wektor v = [vx , vy , vz] ] jest prostopadły do płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0. Jaki
związek jest związek między współrzędnymi tego wektora a współczynnikami tej
płaszczyzny?
26. Wektor v = [vx , vy , vz] ] jest równoległy do płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0. Jaki
związek jest związek między współrzędnymi tego wektora a współczynnikami tej
płaszczyzny?
27. Co to jest grupa?
28. Wykazać, że element neutralny w grupie jest wyznaczony w sposób jednoznaczny.
29. Wykazać, że element przeciwny w grupie jest wyznaczony w sposób jednoznaczny.
30. Co to jest grupa Abelowa?
31. Wykazać prawo skracania w grupie.
32. Zdefiniować działanie w grupie (𝑍𝑝 , +𝑝 , 0), 𝑍𝑝 = {0,1,2, … , 𝑝 − 1}.
33. Zdefiniować działanie w grupie (𝑍𝑝 , °𝑝 , 1), 𝑍𝑝 = {0,1,2, … , 𝑝 − 1}.
34. Znaleźć element przeciwny do 1 w ciele (𝑍3 = {0,1,2}, +3 , °3 , 0,1).
35. Znaleźć element odwrotny do 2 w ciele (𝑍3 = {0,1,2}, +3 , °3 , 0,1).
36. Czy struktura algebraiczna (𝛧, +, °,0,1) jest ciałem?
37. Ile wynosi iloczyn 𝑧𝑧,
̅ gdzie 𝑧 ∈ ℂ.
38. Podać wzór de Moivre’a.
39. Co to jest liczba sprzężona do 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏.
𝑛
40. Podać wzory na √𝑧 gdzie 𝑧 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜙).
41. Z jakich wzorów możemy wyznaczyć argument liczby zespolonej znając jej część
rzeczywistą i urojoną?
42. Ile wynosi moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych o module równym m? Dlaczego?
43. Podać wzór na kwadrat liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej.
44. Sformułować zasadnicze twierdzenie algebry.
𝑎 𝑏
45. Znaleźć macierz przeciwną do macierzy [
].
𝑐 𝑑
46. Czy mnożenie macierzy jest przemienne? Odpowiedź uzasadnić.
47. Co to jest macierz jednostkowa?
48. Ile wynosi iloczyn 𝐼𝑛 °𝐴𝑛×𝑛 ?
49. Co to jest macierz odwrotna do macierzy 𝐴𝑛×𝑛 ?
50. Co to jest rząd macierzy?
51. Podać wzory na rozwinięcie Laplace’a.
52. Wymienić dwie operacje nie zmieniające wartości wyznacznika.
53. Podać wzór na wyznacznik iloczyun macierzy kwadratowych.
54. Ile wynosi (𝐴°𝐵)−1 ?
55. Co to jest dopełnienie algebraiczne macierzy?
56. Podać wzory na macierz odwrotną.
57. Podać tw. Kroneckera-Capelliego.
58. Co to jest macierz rozszerzona układu równań 𝐴𝑥 = 𝑏.
59. Ile wynosi rząd macierzy jednostkowej wymiaru n?
60. Ile wynosi rząd macierzy 𝐴𝑛×𝑛 , jeśli jej wyznacznik jest różny od zera?
61. Podać wzory Cramera na rozwiązanie układu równań liniowych. Objaśnić użyte symbole.
62. Podać wzór na elementy macierzy odwrotnej. Objaśnić użyte symbole.
63. Wymienić dwie operacje na układzie równań 𝐴𝑥 = 𝑏, które prowadzą do równoważnego
układu równań.
64. Co to jest przestrzeń wektorowa?
65. Kiedy mówimy, że zbiór wektorów U generuje przestrzeń wektorową V?
66. Podaj związek między liczbą wektorów liniowo niezależnych w danej przestrzeni
wektorowej a liczbą wektorów generujących tę przestrzeń.
67. Co to jest układ wektorów liniowo niezależnych? Czy wektory (1,2),(4,-1),(-2,3) są
liniowo niezależne?
68. Czy zero w przestrzeni wektorowej wyznaczone jest w sposób jednoznaczny? Odpowiedź
uzasadnić.
69. Ile wynosi element przeciwny do element ∝= (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) w przestrzeni (𝐾 𝑛 , +, °, 𝐾).
70. Wykazać, ze w przestrzeni wektorowej (𝑉, +, °, 𝐾) zachodzi wzór:
71. – (𝑎° ∝) = (−𝑎)° ∝, 𝑎 ∈ 𝑉, ∝∈ 𝐾.
72. Co to jest 𝐿(∝1 , ∝2 , ⋯ , ∝𝑘 ) , gdzie ∝1 , ∝2 , ⋯ , ∝𝑘 są wektorami przestrzeni liniowej.
73. Wymienić dwie operacje na układzie wektorów liniowo niezależnych, które prowadzą do
układu wektorów liniowo niezależnych.
74. Co to jest baza przestrzeni wektorowej?
75. Co łączy dwie bazy tej samej przestrzeni?
76. Co nazywamy odwzorowaniem liniowym?
77. Jak określamy reprezentację macierzową odwzorowania liniowego?
78. Co nazywamy rzędem macierzy? Jaki jest związek rzędu macierzy z jej wymiarem?
79. Jak możemy wyznaczyć rząd macierzy?