Zapisz jako PDF
advertisement
Notacja: Punkty: , Wektory (“różnice punktów”): Zadanie Znaleźć sumę wektorów i Prosimy studentów o narysowanie układu współrzędnych, zaznaczenie punktów i i narysowanie wektorów przerywanymi) dwie proste: i prostą równoległą do przechodzącą przez punkt prostą równoległą do przechodzącą przez punkt , . Następnie powinni narysować (liniami oraz Proste te przecinają się w punkcie sumą wektorów i . o współrzędnych . . Wektor jest szukaną Następnie przeprowadzamy obliczenia opisujące powyższą metodę graficzną. Znajdujemy równanie prostej : Analogicznie znajdujemy równanie prostej Prosta jest równoległa do Przechodzi ona przez punkt wyznaczmy : : , więc jej równanie ma postać , więc spełnione musi być równanie . , z którego Prosta opisana jest równaniem Analogicznie znajdujemy równanie prostej Znajdujemy współrzędne punktu Punkt ma współrzędne . : . , który jest punktem wspólnym prostych , a więc i : . Ten sam wynik można uzyskać znacznie szybciej licząc Metoda bardziej skomplikowana służy temu, żeby pokazać, że graficzne dodawanie wektorów jest równoważne metodzie prostej polegającej na dodawaniu odpowiednich składowych. Zadanie Używając metody graficznej dodawania wektorów, pokazać, że odejmowanie wektora jest równoważne dodawaniu wektora przeciwnego Przykład , Zadanie Rozłożyć wektor w bazie , . Porównanie dwóch składowych (często oznaczanych jako składowe -owa i -owa) powyższego równania wektorowego daje układ równań Mnożąc pierwsze z powyższych równań przez 2 i odejmując drugie równanie otrzymujemy Podstawienie wyliczonego do drugiego równania daje Należy sprawdzić poprawność wyniku licząc odpowiednią kombinację liniową: Powyższe rachunki trzeba zilustrować rysunkami odpowiadającymi graficznemu dodawaniu wektorów. Warto poprosić studentów o rozłożenie tego samego wektora w dwóch innych “bazach”, np.: , , , Trzeba wyjaśnić jak brak rozwiązań w przypadku górnym i nieskończenie wiele rozwiązań w przypadku dolnym tłumaczy się na przypadek graficznego dodawania wektorów. Zadanie Wierzchołki trójkąta znajdują się w punktach , , długości boków, kąty miedzy bokami i pole powierzchni tego trójkąta. Zaczynamy od wyznaczenia wektorów będących “różnicami” punktów Długości boków trójkąta są równe długościom tych wektorów Następnie wyznaczamy cosinusy kątów między bokami trójkąta . Znaleźć , i : [Error parsing LaTeX formula. Error 1: ] Pole powierzchni: Warto zapytać studentów, który z kątów w tym trójkącie jest największy, a który najmniejszy. Trzeba przypomnieć (wyjaśnić), że wszystkie kąty w każdym trójkącie spełniają warunek . W tym przedziale argumentów funkcja cosinus jest ściśle malejąca. Czyli, większa wartość cosinusa odpowiada mniejszej wartości kąta. Ten wynik należy zilustrować odpowiednim, w miarę dokładnym, rysunkiem. Zadanie Udowodnić wzór cosinusów Mając dwa wektory i , chcemy wyrazić długość ich różnicy przez , i .
