Zapisz jako PDF

advertisement
Notacja:
Punkty:
,
Wektory (“różnice punktów”):
Zadanie
Znaleźć sumę wektorów
i
Prosimy studentów o narysowanie układu współrzędnych, zaznaczenie punktów
i
i narysowanie wektorów
przerywanymi) dwie proste:
i
prostą równoległą do
przechodzącą przez punkt
prostą równoległą do
przechodzącą przez punkt
,
. Następnie powinni narysować (liniami
oraz
Proste te przecinają się w punkcie
sumą wektorów
i
.
o współrzędnych
.
. Wektor
jest szukaną
Następnie przeprowadzamy obliczenia opisujące powyższą metodę graficzną.
Znajdujemy równanie prostej
:
Analogicznie znajdujemy równanie prostej
Prosta
jest równoległa do
Przechodzi ona przez punkt
wyznaczmy
:
:
, więc jej równanie ma postać
, więc spełnione musi być równanie
.
, z którego
Prosta
opisana jest równaniem
Analogicznie znajdujemy równanie prostej
Znajdujemy współrzędne punktu
Punkt
ma współrzędne
.
:
.
, który jest punktem wspólnym prostych
, a więc
i
:
.
Ten sam wynik można uzyskać znacznie szybciej licząc
Metoda bardziej skomplikowana służy temu, żeby pokazać, że graficzne dodawanie wektorów jest
równoważne metodzie prostej polegającej na dodawaniu odpowiednich składowych.
Zadanie
Używając metody graficznej dodawania wektorów, pokazać, że odejmowanie wektora jest
równoważne dodawaniu wektora przeciwnego
Przykład
,
Zadanie
Rozłożyć wektor
w bazie
,
.
Porównanie dwóch składowych (często oznaczanych jako składowe -owa i -owa) powyższego
równania wektorowego daje układ równań
Mnożąc pierwsze z powyższych równań przez 2 i odejmując drugie równanie otrzymujemy
Podstawienie wyliczonego
do drugiego równania daje
Należy sprawdzić poprawność wyniku licząc odpowiednią kombinację liniową:
Powyższe rachunki trzeba zilustrować rysunkami odpowiadającymi graficznemu dodawaniu
wektorów.
Warto poprosić studentów o rozłożenie tego samego wektora
w dwóch innych “bazach”, np.:
,
,
,
Trzeba wyjaśnić jak brak rozwiązań w przypadku górnym i nieskończenie wiele rozwiązań w
przypadku dolnym tłumaczy się na przypadek graficznego dodawania wektorów.
Zadanie
Wierzchołki trójkąta znajdują się w punktach
,
,
długości boków, kąty miedzy bokami i pole powierzchni tego trójkąta.
Zaczynamy od wyznaczenia wektorów będących “różnicami” punktów
Długości boków trójkąta są równe długościom tych wektorów
Następnie wyznaczamy cosinusy kątów między bokami trójkąta
. Znaleźć
,
i
:
[Error parsing LaTeX formula. Error 1: ]
Pole powierzchni:
Warto zapytać studentów, który z kątów w tym trójkącie jest największy, a który najmniejszy.
Trzeba przypomnieć (wyjaśnić), że wszystkie kąty w każdym trójkącie spełniają warunek
.
W tym przedziale argumentów funkcja cosinus jest ściśle malejąca. Czyli, większa wartość cosinusa
odpowiada mniejszej wartości kąta.
Ten wynik należy zilustrować odpowiednim, w miarę dokładnym, rysunkiem.
Zadanie
Udowodnić wzór cosinusów
Mając dwa wektory
i
, chcemy wyrazić długość ich różnicy
przez
,
i
.
Download
Random flashcards
123

2 Cards oauth2_google_0a87d737-559d-4799-9194-d76e8d2e5390

bvbzbx

2 Cards oauth2_google_e1804830-50f6-410f-8885-745c7a100970

66+6+6+

2 Cards basiek49

Pomiary elektr

2 Cards m.duchnowski

Create flashcards