Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 9- dr Adam Ćmiel , [email protected] Przestrzenią R3 nazywamy zbiór uporządkowanych trójek (x,y,z) liczb rzeczywistych R3={(x,y,z): x,y,z∈ R} Uwaga. Przestrzeń R3 będziemy interpretować na 3 sposoby • zbiór punktów P=(x,y,z) w przestrzeni wyposażonej w kartezjański układ współrzędnych • zbiór wszystkich wektorów zaczepionych postaci a = OP - wektory te mają wspólny początek O=(0,0,0), a końce w punktach P=(x,y,z). Wektor OP nazywamy wektorem r wodzącym punktu P, który zwykle oznaczamy przez r lub r . Liczby x,y,z nazywamy współrzędnymi wektora r = ( x, y , z ) • zbiór wszystkich wektorów swobodnych w przestrzeni. Przez wektor swobodny rozumiemy tu zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek, zwrot oraz długość, co dany wektor u. Dany wektor u nazywamy reprezentantem wektora swobodnego oznaczanego również przez u. Wektor swobodny jest w tym ujęciu klasą równoważności relacji równoważnościowej zadanej w zbiorze wszystkich wektorów zaczepionychuRw ⇔ istnieje translacja wektora u na wektor w. W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 nazywamy wektorami. Każdemu wektorowi swobodnemu odpowiada trójka liczb niezależna od wyboru reprezentanta u = [u x , u y , u z ] = [u1 , u 2 , u 3 ] . Działania na wektorach (swobodnych) u = [u x , u y , u z ] , v = [v x , v y , vz ] u ± v = [u x ± v x , u y ± v y , u z ± v z ] , λ u = [λ u x , λ u y , λ u z ] Uwaga. Zbiór wektorów swobodnych z działaniami dodawania wektorów swobodnych i mnożenia wektora przez liczby rzeczywiste jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych. Inne (formalne) ujęcie Niech X będzie pewnym zbiorem (zwanym zbiorem punktów) a V przestrzenią wektorową. Niech będzie dane działanie zewnętrzne w zbiorze X nad zbiorem V (dodawanie wektora do punktu) V×X ∋ (x,v)→x+v∈X, spełniające warunki: 1. ∀x∈X x+0=x 2. ∀x,y∈X ∃v∈V x+v=y 3. x+v= x+u⇒ v=u 4. ∀x∈X ∀u,v∈V x+(u+v)= (x+u)+v Trojkę (X,V,+) nazywamy przestrzenią afiniczną. Przestrzeń wektorową V nazywamy przestrzenią wektorów swobodnych przestrzeni afinicznej X. Elementy przestrzeni afinicznej nazywamy punktami. 1 Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 9- dr Adam Ćmiel , [email protected] Dalej nie będziemy rozwijać formalnego podejścia poprzestając na podanych wcześniej intuicyjnych interpretacjach punktów i wektorów w R3. Przestrzenią Rn nazywamy zbiór ciągów n elementowych x=(x1,…,xn) liczb rzeczywistych. Podobnie jak w przypadku przestrzeni R3 elementy przestrzeni Rn możemy interpretować jako punkty, wektory zaczepione lub wektory swobodne. Odległość punktów i długość wektora w przestrzeni R3. P1 = ( x1 , y1 , z1 ) , P2 = ( x2 , y2 , z2 ) ; d ( P1 , P2 ) =| P1P2 |= ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 Uogólnienie Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K (R lub C). Def. Normą w przestrzeni liniowej nad ciałem K nazywamy funkcję czym: 1. ∀v ∈ V v = 0 ⇔ v = 0 2. ∀α ∈ K ∀v ∈V 3. ∀u, v ∈ V u + v ≤ u + v (subaddytywność normy) ⋅ : V ∋ v → v ∈ R+ , przy αv =α v Parę (V , ⋅ ) nazywamy przestrzenią unormowaną. Norma wektora jest uogólnieniem pojęcia długości wektora wprowadzonej w przestrzeni R3. Przykłady • X = Rn • x = ( x1 ,..., x n ) o x = o x o x l∞ l1 ∑ n 2 x i =1 i = max xi = 1≤l ≤n n ∑ i =1 xi - norma euklidesowa (norma l 2 ) - norma max lub l ∞ - norma l1 X = C[ a ,b ] - zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych ciągłych na [a, b] f = sup f ( x) = max f ( x) - norma supremum (sup=max bo f jest ciągła na zbiorze zwartym) a ≤ x≤b a ≤ x ≤b Iloczynem skalarnym wektorów a i b w przestrzeni R3 nazywamy liczbę a o b =| a | | b | cos ϕ , gdzie ϕ jest kątem (zwykłym) pomiędzy wektorami a i b . Fakt. Jeżeli a = [a x , a y , a z ] , b = [bx , by , bz ] , to a o b = a x bx + a y by + a z bz . Wniosek. cos ϕ = a x bx + a y b y + a z bz a x2 + a y2 + a z2 b x2 + b y2 + b z2 2 Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 9- dr Adam Ćmiel , [email protected] Własności iloczynu skalarnego (w przestrzeni R3 ) • • • • • a o b = b o a -przemienność (λa) o b = λ (a o b) a o (b + c) = a o b + a o c - rozdzielność iloczynu skalarnego względem dodawania | a o b |≤| a | | b | a ⊥ b ⇔ aob = 0 Uogólnienie. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K (R lub C). Def. Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy funkcję ⋅ , ⋅ : V × V ∋ (u, v) → u, v ∈ K , przy czym: 1. ∀u, v ∈ V 2. ∀ u, v , w ∈ V 3. ∀α ∈ K ∀v, w ∈ V α v, w = α v, w 4. ∀v ∈ V Parę (V , ⋅, ⋅ u, v = v, u u + v , w = u, w + v , w v, v ≥ 0 i v, v = 0 ⇔ v = 0 ) nazywamy przestrzenią unitarną. Przykłady ∑ =∑ • X = Rn x = ( x1 ,..., x n ) , y = ( y1 ,..., yn ) ; x, y = • X = Cn x = ( x1 ,..., x n ) , y = ( y1 ,..., yn ) ; x, y n xy i =1 i i n xy i =1 i i b • X = C[ a , b ] -przestrzeń funkcji rzeczywistych ciągłych na przedziale [a,b] ; f , g = ∫ f ( x) g ( x)dx . a b • X = W[ n ],[ a , b ] -przestrzeń wielomianów stopnia ≤ n na przedziale [a,b] ; f,g = ∫ f ( x) g ( x)dx . a W przestrzeni unitarnej prawdziwa jest następująca nierówność Schwarza ∀u, v ∈ V u, v ≤ u v . Dowód nierówności Schwarza. 2 ∀u, v ∈ V ∀λ ∈ K ; 0 ≤ u − λv = u − λv, u − λv = u, u − λ v, u − λ u, v + λ Przyjmijmy w szczególności λ = 2 v, v u, v 2 . Biorąc pod uwagę, tożsamości z z = z i v, v otrzymujemy nierówność 0 ≤ u, u − u, v v, v v , u = u, u − u, v v, v u, v = v, u 2 z której wynika teza. Mając dany iloczyn skalarny w przestrzeni V możemy określić w niej normę za pomocą wzoru ∀v ∈ V Dowód subaddytywności normy v = v, v . v = v, v wyznaczonej przez iloczyn skalarny. 3 Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 9- dr Adam Ćmiel , [email protected] 2 u + v = u + v , u + v = u, u + u , v + v , u + v , v = 2 2 2 2 = u + 2re u, v + v ≤ u + 2 u, v + v (1) W dowodzie wykorzystano (1) re z≤|z| ≤ u +2 u v + v =(u + v 2 2 ( 2) )2 (2) nierówność Schwarza W przestrzeni unitarnej możemy określić kąt (cosinus kąta) między niezerowymi wektorami wzorem u, v cos ϕ = (z nierówności Schwarza cos ϕ ≤ 1 ). u v Def. Wektory u i v przestrzeni unitarnej V nazywamy ortogonalnymi (prostopadłymi), gdy u, v = 0 . Niech V będzie n wymiarową przestrzenią unitarną z bazą v1,…,vn. Za pomocą następującej procedury ortonormalizacji Grama-Schmidta : vn− v − v 2 , e1 e1 v e1 = 1 , e 2 = 2 ,…, e n = v1 v 2 − v 2 , e1 e1 vn− ∑ ∑ n −1 v n , ei ei i =1 n −1 , v n , ei ei i =1 można zbudować bazę ortonormalną e1,…,en w przestrzeni V. Zadanie. Stosując procedurę ortonormalizacji Grama-Schmidta w przestrzeni W[3] wielomianów stopnia ≤3 określonych na przedziale [-1,1] z bazą jednomianów 1, t, t2, t3 znaleźć bazę ortonormalną. Odp. 1 , 2 3 2 t, 3 2 (− 5 2 1 3 ) + t2 , 5 2 7 2 (− 3 t 5 ) + t 3 są to unormowane wielomiany Legendre’a. Wyznacznik Grama Niech v1,…,vn będzie ciągiem wektorów w przestrzeni unitarnej. Wyznacznikiem Grama nazywamy wyznacznik v1 , v1 v 2 , v1 G ( v1 ,..., v n ) = M v n , v1 v1 , v 2 v2 , v2 M vn , v2 L L O L v1 , v n v2 , vn . M vn , vn Tw. Wektory v1,…,vn są liniowo niezależne ⇔ G ( v1 ,..., v n ) ≠ 0 . Dowód. Wektory v1,…,vn są liniowo niezależne ⇔ n ∑α v i i = 0 ⇒ α i = 0 ∀i . i =1 n Mnożąc tożsamość ∑α v i i = 0 skalarnie (z lewej strony) przez vj , j=1,…,n otrzymujemy układ równań i =1 v1 , v1 v 2 , v1 M v n , v1 v1 , v 2 v2 , v2 L L M vn , v2 O L v1 , v n α1 0 v 2 , v n α 2 0 = , który ma rozwiązanie zerowe ⇔ G ( v1 ,..., v n ) ≠ 0 . M M M v n , v n α n 0 4