Metoda sprzężonych gradientów. Metoda konstrukcji bazy ortogonalnej w przestrzeni liniowej może być wykorzystana do rozwiązania numerycznego układu równań liniowych postaci: Ax b (1) gdzie , A jest operatorem w przestrzeni liniowej K n , b jest zadanym wektorem, a x jest rozwiązaniem równania liniowego. Przedstawmy teraz dobrze znaną z literatury [1] metodę sprzężonych gradientów rozwiązywania układów równań liniowych. Podstawą do konstrukcji metody jest wyznaczenie bazy ortogonalnej z wektorów : x0 , Ax0 , . . . , A n1 x0 gdzie x 0 jest wektorem przestrzeni liniowej K n . Dla uproszczenia zakładamy, że operator A jest nieosobliwy i stąd istnieje dokładnie jedno rozwiązanie zadania (1) . K n jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb zespolonych z określonym iloczynem skalarnym i z dodatnio określoną Hermitowską formą dwuliniową tzn. K n jest przestrzenią unitarną. Weźmy pod uwagę nieosobliwe operatory C i B i załóżmy, że wektory s1 , ... , s n są wektorami CAB – ortogonalnymi tzn. (CABsi , si ) 0, (CABsi , s k ) 0, k i, dla każdego i ≤ n . Zauważmy, że x 0 jest wektorem początkowym i zachodzą zależności : n x x0 B a j s j j 1 i xi x 0 B a j s j (2) j 1 ri Axi b Stąd otrzymujemy następujące wzory: xi xi 1 ai Bs i (3) ri ri 1 ai ABs i (4) Jest łatwo udowodnić, że dla wybranej macierzy s1 , ... , s n spełnione są równości : (Cri , sk ) 0, Przekształcając CAB i wektorów ortogonalnych 1 k i (5)