Definicja 1. Przestrzenią liniową nazywa

Definicja 1. Przestrzenią liniową Rn nazywamy zbiór wektorów
Rn = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R, ∀i∈{1,2,...,n}} ,
z określonymi działaniami dodawania wektorów
i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
1. ~
x = (x1, x2, . . . , xn), ~
y = (y1, y2, . . . , yn) =⇒
~
x+~
y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),
2. ~
x = (x1, x2, . . . , xn), a ∈ R =⇒
a~
x = (ax1, ax2, . . . , axn).
Wektor ~
0 = (0, . . . , 0) nazywamy wektorem zerowym.
Przykład 1.
5(2, 3, −2, −1) + 2(−2, 0, 4, 3)
= (10, 15, −10, −5) + (−4, 0, 8, 6)
= (6, 15, −2, 1) .
Liniowa zależność i niezależność wektorów
Definicja 2. Kombinacją liniową wektorów
v~1, . . . , v~k nazywamy wektor
~v = a1v~1 + . . . + ak v~k ,
gdzie a1, . . . , ak ∈ R.
Definicja 3. Wektory v~1, . . . , v~k są liniowo zależne,
jeśli istnieją a1, . . . , ak ∈ R takie, że
a1v~1 + . . . + ak v~k = ~
0,
oraz ai 6= 0 dla pewnego i ∈ {1, . . . , k}.
Uwaga 1. Jeśli powyżej a1 6= 0, to
a2
ak
v~1 = − v~2 − . . . − v~k ,
a1
a1
czyli jeden wektor wyraża jako kombinacja liniowa pozostałych.
Przykład 2. Wektory (1, 2, 3), (4, −1, 2), (6, 3, 8)
są liniowo zależne
(6, 3, 8) = 2(1, 2, 3) + (4, −1, 2) .
Definicja 4. Wektory są liniowo niezależne, jeśli nie są liniowo zależne.
Zatem nie istnieją a1, . . . , ak ∈ R takie, że
a1v~1 + . . . + ak v~k = ~
0,
ai 6= 0,
oraz
dla pewnego i ∈ {1, . . . , k} .
(1)
(2)
Czyli nie mogą być spełnione jednocześnie warunki (1), (2).
Fakt 1. Wektory v~1, . . . , v~k są liniowo niezależne, jeśli prawdziwe jest stwierdzenie:
„Jeśli dla liczb a1, . . . , ak ∈ R zachodzi równość
a1v~1 + . . . + ak v~k = ~
0,
to a1 = . . . = ak = 0”.
Przykład 3. Zbadać niezależnośc wektorów
~
u = (1, 1, 1, 1), ~v = (1, 2, 2, 1), w
~ = (0, 1, 2, 2).
Rozwiązanie:
Niech liczby a, b, c będą takie, że
a(1, 1, 1, 1) + b(1, 2, 2, 1) + c(0, 1, 2, 2) = ~
0.
Czyli
(a+b, a+2b+c, a+2b+2c, a+b+2c) = (0, 0, 0, 0) .
Dostajemy układ równań


a + b
= 0


 a + 2b +
c = 0

a + 2b + 2c = 0



a +
b + 2c = 0
Jedynym rozwiązaniem tego układu jest a =
b = c = 0. Zatem wektory ~
u, ~v , w
~ są liniowo
niezależne.
Podprzestrzenie liniowe
Definicja 5. Zbiór wektorów V zawarty w przestrzeni liniowej Rn nazywamy podprzestrzenią
liniową jeśli spełnione są warunki:
1. V jest niepusty,
2. jeśli ~v ∈ V oraz a ∈ R =⇒ a~v ∈ V ,
3. jeśli ~
u, ~v ∈ V =⇒ ~
u + ~v ∈ V .
Uwaga 2. Warunki 2. i 3. można zastąpić warunkiem:
~
u, ~v ∈ V, a, b ∈ R =⇒ a~
u + b~v ∈ V .
Przykład 4. Zbiór V = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 1}
nie jest przestrzenią liniową.
(1, 0) ∈ V oraz (0, 1) ∈ V , ale
(1, 0) + (0, 1) = (1, 1) 6∈ V .
Przykład 5. Sprawdzić czy jest V ⊂ R3 podprzestrzenią liniową, jeżeli
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y − z = 0 .
1. ~
0 ∈ V ⇒ V jest niepusty.
2. niech ~v = (v1, v2, v3) ∈ V oraz a ∈ R. Wtedy
a~v = (av1, av2, av3). Ponieważ
av1 +2av2 −av3 = a(v1 +2v2 −v3) = a·0 = 0,
to a~v ∈ V .
3. niech ~
u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) ∈ V .
Wtedy
~
u + ~v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) ∈ V,
bo
u1 + v1 + 2(u2 + v2) − (u3 + v3) =
(u1 + 2u2 − u3) + (v1 + 2v2 − v3) =
0 + 0 = 0.
operacja „ lin”
Definicja 6. Niech ~v1, ~v2, . . . , ~vk będą wektorami w przestrzeni liniowej V ⊂ Rn. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów ~v1, ~v2, . . . , ~vk
oznaczamy
lin{~v1, ~v2, . . . , ~vk } .
Mamy zatem
lin{~v1, ~v2, . . . , ~vk } =

k
 X
αm~vm : αk ∈

m=1


R
.

Przykład 6. Niech A = {(3, 5)} ⊂ R2. Wtedy
lin A = {x(3, 5) : x ∈ R} = {(3x, 5x) : x ∈ R}
Przykład 7. Niech B = {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} ⊂
R3. Wtedy
lin B = {x(1, 0, 0) + z(0, 0, 1) : x, y ∈ R}
= {(x, 0, z) : x, z ∈ R} .
Czyli lin B = płaszczyzna Oxz.
Fakt 2. Niech A i B zbiory wektorów w przestrzeni Rn. Wtedy
1. Jeżeli A ⊂ B to lin A ⊂ lin B
2. lin A jest podprzestrzenią liniową Rn i jest
to najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca A.
Ćwiczenie 1. Znaleźć najmniejszy zbiór A
(w sensie liczby elementów) taki, że
lin A = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2y + z} .
Rozwiązanie.
{(x, y, z) ∈ R3 : x = 2y + z}
= {(2y + z, y, z) ∈ R3 : y, z ∈ R}
= {(2y, y, 0) + (z, 0, z) ∈ R3 : y, z ∈ R}
= {y(2, 1, 0) + z(1, 0, 1) ∈ R3 : y, z ∈ R}
= lin{(2, 1, 0), (1, 0, 1)} .
Zatem A = {(2, 1, 0), (1, 0, 1)}.
Uwaga 3. To jest dobra metoda pokazywania,
że coś jest podprzestrzenią liniową!
baza i wymiar
Przykład 8. Rozważmy zbiór
B = {1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} ⊂ R3 .
Niech ~v = (x, y, z) ∈ R3. Mamy wtedy
(x, y, z) = x(1, 1, 0)+(y−x−z)(0, 1, 0)+z(0, 1, 1) .
Czyli każdy wektor należący do R3 jest kombinacją liniową wektorów ze zbioru B. Ponadto
B jest liniowo niezależny.
Taki zbiór nazywamy bazą przestrzeni liniowej.
Definicja 7. Bazą przestrzeni liniowej V ⊂ Rn
nazywamy zbiór B, który jest
1. liniowo niezależny,
2. lin B = V (B generuje całą podprzestrzeń).
Baza standardowa Rn:


~e1 = (1, 0, . . . , 0)


 ~
e2 = (0, 1, . . . , 0)
...




~en = (0, 0, . . . , 1)
Fakt 3. Jeśli baza przestrzeni liniowej V ⊂ Rn
składa się z n wektorów, to każda inna baza
też składa sie z n wektorów.
Definicja 8. Wymiarem przestrzeni V nazywamy ilość wektorów w bazie przestrzeni V i oznaczamy dim V
Mamy oczywiście
dim Rn = n
Fakt 4. Jeśli przestrzeń liniowa V jest wymiaru
n, to każdy układ n liniowo niezależnych wektorów tworzy bazę V .
Fakt 5. n wektorów


~v1 = (v11, v12, . . . , v1n)


 ~
v2 = (v21, v22, . . . , v2n)
...




~vn = (vn1, vn2, . . . , vnn)
w przestrzeni Rn jest liniowo niezależnych wte-
dy i tylko wtedy gdy
v11 v12 . . . v1n v21 v22 . . . v2n 6 0
=
...
...
. . . ...
vn1 vn2 . . . vnn Wniosek 1. Jeśli powyższy wyznacznik jest różny od zera, to wektory ~v1, . . . , ~vn stanowią bazę
Rn
Wniosek 2. Każdy układ wektorów liniowo niezaleznych w przestrzeni V ⊂ Rn mozna uzupełnic do bazy przestrzeni V .
Współrzędne wektora w bazie
Przykład 9. Rozważmy zbiór
B = {1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} ⊂ R3 .
Niech ~
u = (4, 8, −3) ∈ R3. Mamy wtedy
(4, 8, −3) = 4(1, 1, 0)+7(0, 1, 0)+(−3)(0, 1, 1) .
Liczby [4, 7, −3] nazywamy współrzędnymi wektora ~
u w bazie B.
Definicja 9. Niech B = {~v1, ~v2, . . . , ~vk } będzie
bazą przestrzeni V ⊂ Rn. Współrzędnymi wektora ~
u w bazie B nazywamy współczynniki αi ∈
R, gdy
~
u = α1~v1 + α2~v2 + . . . + αk~vk
Uwaga 4. Normalnie wektory piszemy w bazie
standardowej Rn.