Zestaw zadań z mechaniki kwantowej dla IFMU + I 1. Funkcja falowa, przestrzeń Hilberta, ortogonalizacja, operatory 1. Podstawowe wiadomości 1.1 Proszę podać interpretację funkcji falowej (interpretacja kopenhaska). 1.2 Proszę omówić podstawowe własności przestrzeni liniowej. 1.3 Proszę podać i wyjaśnić pojęcia: a) zbiór wektorów liniowo niezależnych; b) wymiar przestrzeni liniowej; c) baza (przestrzeni liniowej); d) składowe wektora w bazie; e) iloczyn skalarny. 1.4 Proszę podać definicję przestrzeni Hilberta. 2. Zadania wprowadzające 2.1 Rozważyć trzy elementy przestrzeni liniowej rzeczywistych macierzy 2x2: 0 1 1 1 − 2 − 1 1 = , 2 = , 3 = . 0 0 0 1 0 − 2 a) czy są one liniowo niezależne? Odpowiedź uzasadnij. b) zaproponuj zbiór macierzy 2x2 (czterech) liniowo niezależnych. Odpowiedź uzasadnij. 2.2 Udowodnić, że dla dowolnego wektora rozkład: n V = ∑ vi i , i =1 (wektory i tworzą bazę) jest jednoznaczny. 3. Twierdzenie Grama-Schmidta 3.1 Zbuduj bazę ortonormalną w przestrzeni dwuwymiarowej, wychodząc od wektorów A = 3i + 4 j i B = 2i − 6 j . 3.2 Z wektorów bazy 3 0 0 I = 0 , II = 1 , III = 2 0 2 5 utworzyć bazę ortonormalną. 4. Operatory liniowe – własności podstawowe 4.1 Wykazać, że dla operatora spełniającego równanie własne w postaci ΩV =ωV wartości własne ω wektora V można obliczyć z równania det (Ω − ωI ) = 0 zaś wektory własne z równania ∑ (Ωij − ωδ ij )v j = 0 . j I jest macierzą jednostkową. 4.2 Wyznaczyć wszystkie unormowane wektory własne i wartości własne operatorów 1 0 0 a) R = 0 0 − 1 , 0 1 0 1 3 1 b) Ω = 0 2 0 . 0 1 4 5. Operatory w przestrzeni nieskończenie wymiarowej 5.1 Podać postać operatora kwadratu całkowitego pędu we współrzędnych kartezjańskich. 5.2 Podać postać operatora składowej lz momentu pędu w układzie sferycznym. 5.3 Podać postać operatora momentu pędu we współrzędnych: a) kartezjańskich; b) sferycznych (wykazać, że l 2 = − 2 Λ , gdzie Λ = ∂ ∂2 1 ∂ 1 ). ϑ sin + sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ sin 2 ϑ ∂ϕ 2