Paweł Domański

Paweł Domański
Program wykładu: Analiza funkcjonalna ANF 311
I. Przestrzenie i operatory
1. Wykład
1. Przestrzenie Banacha i ich przykłady (przestrzenie funkcji ciągłych, ograniczonych
analitycznych, całkowalnych, ograniczonych mierzalnych, przestrzenie ciągów ograniczonych
i zbieżnych do zera).
2. Wykład
2. Ciągłość mnożenia i dodawania, własności kul.
3. Operatory liniowe i ich norma, przestrzeń Banacha operatorów liniowych. Przykłady
operatorów (transformata Fouriera funkcji okresowej, całka Riemanna-Stieltjesa, funkcjonał
ewaluacji na przestrzeni funkcji analitycznych ograniczonych, gradient).
3. Wykład
4. Zastosowania: lemat Riemanna-Lebesgue'a.
5. Skończenie wymiarowe przestrzenie Banacha, równoważność norm, lemat Riesza,
charakteryzacja przez lokalną zwartość.
II. Zastosowania twierdzenia Baire'a
4. Wykład
1. Twierdzenie Baire'a (opcjonalnie: i zastosowanie do konstrukcji funkcji analitycznej na dysku,
której nie można przedłużyć w sposób ciągły na żaden punkt brzegu dysku).
2. Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym i twierdzenie o homomorfizmie.
5. Wykład
3. Twierdzenie o domkniętym wykresie i zastosowania do badania ciągłości rzutu w przestrzeni
Banacha.
4. Zasada jednostajnej ograniczoności, twierdzenie Banacha-Steinhausa.
6. Wykład
5. Zastosowania do dowodu istnienia funkcji ciągłej o rozbieżnym szeregu Fouriera.
6. Opcjonalnie: Zasada zagęszczania osobliwości (bez dowodu) i jej konsekwencje.
III. Teoria dualności
7. Wykład
1. Pojęcie przestrzeni dualnej i operatora dualnego.
2.Twierdzenie Hahna-Banacha (wersja algebraiczna, przypadek zespolony a rzeczywisty, wnioski
dla funkcjonałów na przestzreni Banacha).
8. Wykład
3.Dowód twierdzenia Hahna-Banacha
4.Przykład przestrzeni dualnej: nierówność Hoeldera, definicja przestrzeni ciągów sumowalnych
z p-tą potęgą, ich przestrzeń dualna.
5.Przykłady bez dowodów: przestrzeń funkcji całkowalnych z p-tą potęgą oraz przestrzeń funkcji
ciągłych i ich przestrzenie dualne.
9. Wykład
6.Pojęcie przestrzeni ilorazowej Banacha.
7.Charakteryzacja podprzestrzeni gęstej przy pomocy funkcjonałów.
8.Funkcjonał Minkowskiego zbioru wypukłego.
9.Twierdzenie o oddzielaniu.
10. Wykład
10 Symetria między przestrzenią a jej przestrzenia dualną.
11. Zanurzenie kanoniczne przestrzeni Banacha w swoją drugą przestrzeń dualną i pojęcie
przestrzeni refleksywnej. Przykłady przestrzeni refleksywnych.
12. Pojęcie zbieżności słabej i gwiazdka słabej.
13. Ciągłość operatora a funkcjonały.
14. Własności operatora dualnego.
15. Przestrzeń dualna do podprzestrzeni i do przestrzeni ilorazowej, pojęcie anihilatora.
16. Anihilatory jądra i obrazu operatora i twierdzenie o domkniętym obrazie (częściowy dowód).
17. Pojęcie polary zbioru i twierdzenie o bipolarze.
18 Opcjonalnie: zastosowanie do twierdzenia Hausdorffa o momentach.
IV. Przestrzenie Hilberta
11. Wykład
1.Pojęcie iloczynu skalarnego, norma indukowana przez iloczyn skalarny i przestrzeń Hilberta.
2. Przykłady: przestrzeń skończenie wymiarowa, przestrzeń ciągów sumowalnych z kwadratem i
przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem.
3.Własności normy w przestrzeni Hilberta: tożsamość równoległoboku i tożsamość
polaryzacyjna.
4.Istnienie elementu najbliższego w zbiorze wypukłym i rzut prostopadły na podprzestrzeń.
12. Wykład
5. Twierdzenie Riesza-Fischera o reprezentacji funkcjonałów, refleksywność przestrzeni Hilberta.
6. Operatory sprzężone i ich podstawowe własności. Pojęcie operatora samosprzężonego i
unitarnego.
13. Wykład
7. Pojęcie układu ortonormalnego, współczynników Fouriera względem tego układu i przykłady
(baza jednostkowa w przestrzeni ciągów sumowalnych z kwadratem, układ trygonometryczny w
przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem).
8. Rzut prostopadły na powłokę liniową domkniętą układu ortonormalnego, własność minimum
współczynników Fouriera i nierówność Bessela.
7. Pojęcie bazy ortonormalnej, rozwinięcia względem niej i tożsamość Parsevala. Przykłady baz
ortonormalnych (wektory jednostkowe w przestrzeni rodzin sumowalnych z kwadratem, układ
trygonometryczny w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem na odcinku).
8. Rozszerzanie układów ortonormalnych do baz ortonormalnych, istnienie bazy ortonormalnej
w każdej przestrzeni Hilberta i jej izometria z przestrzenią rodzin sumowalnych z kwadratem
(bez dowodu).
9. Opcjonalnie: zastosowania teorii przestrzeni Hilberta do dowodu twierdzenia
izoperymetrycznego dla krzywych gładkich i do dowodu twierdzenia Radona-Nikodyma.
10. Opcjonalnie: przestrzenie funkcji całkowalnych z p-tą potęgą, ich przestrzenie dualne (dowód
tylko dla p=1) i inkluzje między nimi.
V. Operatory zwarte
14. Wykład
1. Przypomnienie pojęcia zbioru relatywnie zwartego i twierdzenia Arzeli-Ascoliego.
2. Pojęcie operatora liniowego zwartego, własności jako ideału domkniętego i przykłady
(operatory skończenie wymiarowe, operatory aproksymowalne, operatory całkowe z ciągłym
jądrem, zanurzenie przestrzeni funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły w przestrzeń funkcji
ciągłych).
3. Twierdzenie Schaudera.
4. Zwarte perturbacje operatora identycznościowego.
15. Wykład
4. Pojęcie widma operatora, wartości własnej i wektora własnego.
5. Otwartość zbioru operatorów odwracalnych i domkniętość widma. Niepustość widma dla
operatorów zwartych.
6. Widmo operatora zwartego i alternatywa Fredholma.