Kandydat powinien wykazać się znajomością

STUDIA DOKTORANCKIE
TEMATYKA SPRAWDZIANU KWALIFIKACYJNEGO
Kandydat powinien wykazać się znajomością podstawowych definicji,
przykładów i twierdzeń z logiki, algebry, geometrii, topologii i analizy. Mile
widziana będzie głębsza znajomość dziedziny związanej z wybranym
kierunkiem studiów. Możliwa jest również dyskusja nad pracą magisterską
kandydata.
Zagadnienia wymagane na egzaminie:
•
Podstawowe tautologie rachunku zadań i kwantyfikatorów. Działania na zbiorach.
Relacje i funkcje. Relacje równoważności. Równoliczność i zbiory przeliczalne.
Lemat Kuratowskiego-Zorna.
•
Zbiory częściowo uporządkowane, kraty algebry Boole'a. Grupy, grupy permutacji,
grupy cykliczne, grupy przemienne. Podgrupy, grupy ilorazowe, iloczyn grup.
Działania grup na zbiorach, reprezentacje grup i charaktery (pojęcia podstawowe).
Pierścienie, pierścienie przemienne, pierścienie całkowite, pierścienie
wielomianów. Ciała, ciała skończone, ciała ułamków, podpierścienie, pierścienie
ilorazowe, ilorazy pierścieni. Teoria podzielności w pierścieniach bez dzielników
zera. Wyznaczniki i równania liniowe. Przestrzenie liniowe i afiniczne.
•
Definicja przestrzeni metrycznej. Przestrzenie metryczne zupełne. Przestrzenie
ośrodkowe. Przestrzenie spójne. Przekształcenia ciągłe. Definicja przestrzeni
topologicznej. Sposoby wprowadzenia topologii. Aksjomaty oddzielania. Operacje
na przestrzeniach topologicznych: produkt kartezjański i suma przestrzeni
topologicznych. Przestrzenie zwarte i twierdzenie Tichonowa. Własność Darboux
funkcji ciągłych.
•
Lemat Schwartza. Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Teoria miary całki
Lebesgue'a. Przechodzenie do granicy pod znakiem całki. Twierdzenie Fubiniego.
Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Gaussa-Ostrogrodzkiego,
Greena i Stokesa.
•
Funkcje analityczne. Równania Cachy-Riemanna. Wzór całkowy Cauchy'ego.
Zasada maksimum.
•
Twierdzenia o jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych. Równania
różniczkowe liniowe - własności rozwiązań.
•
Przestrzeń Banacha. Funkcjonały i operatory liniowe. Przestrzeń sprężona.
Operatory zwarte. Przestrzeń Hilberta. Twierdzenie Riesza. Przestrzenie Lp
i przestrzenie funkcji ciągłych.
•
Przestrzeń probabilistyczna, zmienne losowe i ich podstawowe charakterystyki,
rozkłady
prawdopodobieństwa,
metody
analityczne
rachunku
prawdopodobieństwa, metody analityczne rachunku prawdopodobieństwa,
struktury warunkowe, zbieżności probabilistyczne, prawa wielkich liczb,
twierdzenie graniczne.