Elementy topologii

Sylabus
do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Nazwa przedmiotu
Elementy topologii
Nazwa jednostki prowadzącej przedmiot Wydział Matematyczno-Przyrodniczy
Kod przedmiotu
Studia
Kierunek studiów
Poziom kształcenia
Forma studiów
Matematyka
Studia pierwszego stopnia Studia stacjonarne
Rodzaj przedmiotu
podstawowy
Rok i semestr studiów
II rok, III semestr
Imię i nazwisko koordynatora
dr hab. Mirosława Zima, prof. UR
przedmiotu
Imię i nazwisko osoby prowadzącej (osób dr hab. Mirosława Zima, prof. UR
prowadzących) zajęcia
z przedmiotu
Cele zajęć z przedmiotu
1.
2.
3.
Zapoznanie z podstawowymi pojęciami topologii.
Zapoznanie z podstawowymi metodami dowodowymi stosowanymi w topologii.
Zapoznanie z podstawowymi technikami obliczeniowymi stosowanymi w topologii.
Wymagania wstępne
Efekty kształcenia
Wiadomości szkolne, wiadomości z teorii mnogości oraz rachunku
różniczkowego z I roku studiów.
Wiedza:
- definiuje klasyczne pojęcia i formułuje podstawowe twierdzenia
z zakresu topologii
- posiada wiedzę dotyczącą metod dowodowych stosowanych
w topologii
- posiada wiedzę dotyczącą różnych sposobów wprowadzania
topologii
- zna równoważne definicje ciągłości odwzorowań w przestrzeniach
topologicznych
Umiejętności:
- posługuje się pojęciami: przestrzeni metrycznej, kuli w przestrzeni
metrycznej; wnętrza, domknięcia, brzegu i punktu skupienia zbioru
w przestrzeni metrycznej; zbioru otwartego i domkniętego
w przestrzeni metrycznej; ciągu zbieżnego w przestrzeni metrycznej;
ciągu Cauchy’ego; przestrzeni topologicznej; rodziny otwartej; rodziny
domkniętej; bazy przestrzeni topologicznej; wnętrza i domknięcia
zbioru; zbioru: gęstego, brzegowego, nigdziegęstego, I kategorii,
II kategorii; funkcji ciągłej; homeomorfizmu; przestrzeni: ośrodkowej,
zwartej, spójnej, zupełnej; zbioru: zwartego, spójnego
- potrafi sprawdzać, czy funkcja jest metryką oraz wyznaczać kule
otwarte i domknięte w przestrzeniach metrycznych
- potrafi wyznaczyć średnicę zbioru i odległość punktu od zbioru
- umie badać zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych
1
- potrafi sprawdzać, czy rodzina podzbiorów danej przestrzeni jest
rodziną otwartą, domkniętą
- wyznacza wnętrza, domknięcia, brzegi i zbiory punktów skupienia
zbiorów
- umie badać ciągłość funkcji w przestrzeniach topologicznych
- potrafi sprawdzać homeomorficzność zbiorów
Kompetencje społeczne:
- samodzielnie wyszukuje informacje w literaturze i właściwie je
stosuje
- potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień
topologii
- zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego
kształcenia
- pracuje w grupie
Forma(y) zajęć, liczba realizowanych godzin
Wykład – 30 godzin
Ćwiczenia audytoryjne – 30 godzin
Treści programowe
A. Problematyka wykładu
Treści merytoryczne
Przestrzenie metryczne: przestrzeń metryczna, definicja, przykłady;
kula otwarta, domknięta w przestrzeni metrycznej; wnętrze,
domknięcie i brzeg zbioru w przestrzeni metrycznej; zbiory otwarte,
zbiory domknięte; odległość punktu od zbioru; średnica zbioru.
Liczba godzin
4
Przestrzenie metryczne: zbieżność ciągów w przestrzeni metrycznej,
podstawowe twierdzenia; ciąg Cauchy’ego, przestrzeń metryczna
zupełna; twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
4
Przestrzenie topologiczne: definicja i przykłady przestrzeni
topologicznych; różne sposoby zadawania topologii (równoważność
tych sposobów); rodzina otwarta, rodzina domknięta, baza przestrzeni
topologicznej.
6
Przestrzenie topologiczne: wnętrze, domknięcie, brzeg i zbiór
punktów skupienia zbioru w przestrzeni topologicznej; różne rodzaje
zbiorów
w przestrzeni topologicznej: zbiór gęsty, brzegowy, nigdziegęsty,
zbiory pierwszej i drugiej kategorii.
Przestrzenie topologiczne: aksjomaty oddzielania i warunki
równoważne; przestrzenie Hausdorffa, przestrzenie regularne,
przestrzenie normalne.
4
2
2
Funkcje ciągłe w przestrzeniach topologicznych:
definicja i przykłady funkcji ciągłych, warunki równoważne ciągłości;
złożenie funkcji ciągłych; homeomorfizmy – definicja, przykłady;
odwzorowania otwarte i domknięte.
6
Różne rodzaje przestrzeni topologicznych:
przestrzenie ośrodkowe, przestrzenie zupełne, przestrzenie zwarte,
charakteryzacja zbiorów zwartych w przestrzeniach metrycznych;
przestrzenie spójne; własności funkcji ciągłych na zbiorach spójnych.
4
Suma godzin
30
B. Problematyka ćwiczeń audytoryjnych
Treści merytoryczne
Przestrzenie metryczne: przestrzeń metryczna, definicja, przykłady;
kula otwarta, domknięta w przestrzeni metrycznej;
Przestrzenie metryczne: wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru
w przestrzeni metrycznej; zbiory otwarte, zbiory domknięte; odległość
punktu od zbioru, średnica zbioru.
Przestrzenie metryczne: zbieżność ciągów w przestrzeni metrycznej,
podstawowe twierdzenia i ich zastosowanie.
Przestrzenie metryczne: ciąg Cauchy’ego, przestrzeń metryczna
zupełna; twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Przestrzenie topologiczne: definicja i przykłady przestrzeni
topologicznych
Przestrzenie topologiczne: rodzina otwarta, rodzina domknięta
Przestrzenie topologiczne: wnętrze, domknięcie, brzeg i zbiór
punktów skupienia zbioru
Przestrzenie topologiczne: baza przestrzeni topologicznej.
Przestrzenie topologiczne: różne rodzaje zbiorów w przestrzeni
topologicznej: zbiór gęsty, brzegowy, nigdziegęsty, zbiory pierwszej
i drugiej kategorii.
Przestrzenie topologiczne: aksjomaty oddzielania i warunki
równoważne; przestrzenie Hausdorffa, przestrzenie regularne,
przestrzenie normalne.
Funkcje ciągłe w przestrzeniach topologicznych:
definicja i przykłady funkcji ciągłych, warunki równoważne ciągłości;
złożenie funkcji ciągłych.
Funkcje ciągłe w przestrzeniach topologicznych: homeomorfizmy –
definicja, przykłady.
Funkcje ciągłe w przestrzeniach topologicznych: odwzorowania
otwarte i domknięte.
Różne rodzaje przestrzeni topologicznych: przestrzenie ośrodkowe,
przestrzenie zupełne.
Różne rodzaje przestrzeni topologicznych: przestrzenie zwarte,
charakteryzacja zbiorów zwartych w przestrzeniach metrycznych;
przestrzenie spójne; własności funkcji ciągłych na zbiorach spójnych.
Suma godzin
Liczba godzin
2
2
2
2
2
2
3
1
2
2
2
2
2
2
2
30
3
Metody dydaktyczne
Wykład, rozwiązywanie zadań.
Sposób(y) i forma(y) zaliczenia
Ćwiczenia: zaliczenie na ocenę na podstawie 2 sprawdzianów
pisemnych w semestrze oraz aktywności na zajęciach.
Egzamin: część pisemna - zadaniowa i część ustna –
teoretyczna.
Nakład pracy studenta
Całkowity nakład pracy studenta Aktywność
w godz.
potrzebny
do
osiągnięcia
założonych efektów w godzinach wykład
30
oraz punktach ECTS
ćwiczenia
30
udział w konsultacjach
6
przygotowanie do kolokwiów
15
przygotowanie do ćwiczeń
45
przygotowanie do egzaminu
20
udział w egzaminie
4
SUMA GODZIN
150
LICZBA PUNKTÓW ECTS
6
Język wykładowy
polski
Praktyki zawodowe w ramach nie dotyczy
przedmiotu
Literatura
1.
A.W. Archangielski, W.I. Ponomariow, Podstawy
topologii ogólnej w zadaniach, PWN Warszawa 1986.
2.
D. Brydak, E. Turdza, Zbiór zadań z teorii mnogości,
teorii przestrzeni topologicznych i metrycznych, Wyd.
Nauk. WSP, Kraków 1982.
3.
R. Engelking, Topologia ogólna, Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa 2012.
4.
K. Jänich, Topologia, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 1996.
5.
J. Krzyszkowski, E. Turdza, Elementy topologii, Wyd.
Nauk. Akademii Pedagogicznej, Kraków 2001.
6.
K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004.
7.
H. Patkowska, Wstęp do topologii, PWN Warszawa,
1979.
Podpis koordynatora przedmiotu
Podpis kierownika jednostki
4