s12 sylabus elementy topologii

Sylabus
do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Nazwa przedmiotu
Elementy topologii
Nazwa jednostki prowadzącej przedmiot Instytut Matematyki
Kod przedmiotu
Studia
Kierunek studiów
Poziom kształcenia
Forma studiów
Matematyka
Studia pierwszego stopnia Studia stacjonarne
Rodzaj przedmiotu
podstawowy
Rok i semestr studiów
II rok, III semestr
Imię i nazwisko koordynatora
Prof. dr hab. Michał Zariczny
przedmiotu
Imię i nazwisko osoby prowadzącej
Prof. dr hab. Michał Zariczny, dr hab. Stanisław
( osób prowadzących) zajęcia
Domoradzki, mgr Jacek Kucab
z przedmiotu
Cele zajęć z przedmiotu
1.
2.
3.
Zapoznanie z podstawowymi pojęciami topologii.
Zapoznanie z podstawowymi metodami dowodowymi stosowanymi w topologii.
Zapoznanie z podstawowymi technikami obliczeniowymi stosowanymi w topologii.
Wymagania wstępne
Efekty kształcenia
Wiadomości szkolne, wiadomości z teorii mnogości oraz rachunku
różniczkowego z I roku studiów.
Wiedza:
- definiuje klasyczne pojęcia i formułuje podstawowe twierdzenia
z zakresu topologii
- posiada wiedzę dotyczącą metod dowodowych stosowanych
w topologii
- posiada wiedzę dotyczącą różnych sposobów wprowadzania
topologii
- zna równoważne definicje ciągłości odwzorowań w przestrzeniach
topologicznych
Umiejętności:
- posługuje się pojęciami: przestrzeni metrycznej, kuli w przestrzeni
metrycznej; wnętrza, domknięcia, brzegu i punktu skupienia zbioru
w przestrzeni metrycznej; zbioru otwartego i domkniętego
w przestrzeni metrycznej; ciągu zbieżnego w przestrzeni metrycznej;
ciągu Cauchy’ego; przestrzeni topologicznej; rodziny otwartej; rodziny
domkniętej; bazy przestrzeni topologicznej; wnętrza i domknięcia
zbioru; zbioru: gęstego, brzegowego, nigdziegęstego, I kategorii,
II kategorii; funkcji ciągłej; homeomorfizmu; przestrzeni: ośrodkowej,
zwartej, spójnej, zupełnej; zbioru: zwartego, spójnego
- potrafi sprawdzać, czy funkcja jest metryką oraz wyznaczać kule
otwarte i domknięte w przestrzeniach metrycznych
- potrafi wyznaczyć średnicę zbioru i odległość punktu od zbioru
- umie badać zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych
1
- potrafi sprawdzać, czy rodzina podzbiorów danej przestrzeni jest
rodziną otwartą, domkniętą
- wyznacza wnętrza, domknięcia, brzegi i zbiory punktów skupienia
zbiorów
- umie badać ciągłość funkcji w przestrzeniach topologicznych
- potrafi sprawdzać homeomorficzność zbiorów
Kompetencje społeczne:
- samodzielnie wyszukuje informacje w literaturze i właściwie je
stosuje
- potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień
topologii
- zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego
kształcenia
- pracuje w grupie
Forma(y) zajęć, liczba realizowanych godzin
Wykład – 30 godzin
Ćwiczenia audytoryjne – 30 godzin
Treści programowe
A. Problematyka wykładu
Treści merytoryczne
Przestrzenie metryczne: przestrzeń metryczna, definicja, przykłady;
kula otwarta, domknięta w przestrzeni metrycznej; wnętrze,
domknięcie i brzeg zbioru w przestrzeni metrycznej; zbiory otwarte,
zbiory domknięte; odległość punktu od zbioru; średnica zbioru.
Liczba godzin
4
Przestrzenie metryczne: zbieżność ciągów w przestrzeni metrycznej,
podstawowe twierdzenia; ciąg Cauchy’ego, przestrzeń metryczna
zupełna; twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
4
Przestrzenie topologiczne: definicja i przykłady przestrzeni
topologicznych; różne sposoby zadawania topologii (równoważność
tych sposobów); rodzina otwarta, rodzina domknięta, baza przestrzeni
topologicznej.
6
Przestrzenie topologiczne: wnętrze, domknięcie, brzeg i zbiór
punktów skupienia zbioru w przestrzeni topologicznej; różne rodzaje
zbiorów w przestrzeni topologicznej: zbiór gęsty, brzegowy,
nigdziegęsty, zbiory pierwszej i drugiej kategorii.
4
Przestrzenie topologiczne: aksjomaty oddzielania i warunki
równoważne; przestrzenie Hausdorffa, przestrzenie regularne,
przestrzenie normalne.
2
2
Funkcje ciągłe w przestrzeniach topologicznych:
definicja i przykłady funkcji ciągłych, warunki równoważne ciągłości;
złożenie funkcji ciągłych; homeomorfizmy – definicja, przykłady;
odwzorowania otwarte i domknięte.
6
Różne rodzaje przestrzeni topologicznych:
przestrzenie ośrodkowe, przestrzenie zupełne, przestrzenie zwarte,
charakteryzacja zbiorów zwartych w przestrzeniach metrycznych;
przestrzenie spójne; własności funkcji ciągłych na zbiorach spójnych.
4
Suma godzin
30
B. Problematyka ćwiczeń audytoryjnych
Treści merytoryczne
Przestrzenie metryczne: przestrzeń metryczna, definicja, przykłady;
kula otwarta, domknięta w przestrzeni metrycznej;
Przestrzenie metryczne: wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru w
przestrzeni metrycznej; zbiory otwarte, zbiory domknięte; odległość
punktu od zbioru, średnica zbioru.
Przestrzenie metryczne: zbieżność ciągów w przestrzeni metrycznej,
podstawowe twierdzenia i ich zastosowanie.
Przestrzenie metryczne: ciąg Cauchy’ego, przestrzeń metryczna
zupełna; twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Przestrzenie topologiczne: definicja i przykłady przestrzeni
topologicznych
Przestrzenie topologiczne: rodzina otwarta, rodzina domknięta
Przestrzenie topologiczne: wnętrze, domknięcie, brzeg i zbiór
punktów skupienia zbioru
Przestrzenie topologiczne: baza przestrzeni topologicznej.
Przestrzenie topologiczne: różne rodzaje zbiorów w przestrzeni
topologicznej: zbiór gęsty, brzegowy, nigdziegęsty, zbiory pierwszej i
drugiej kategorii.
Przestrzenie topologiczne: aksjomaty oddzielania i warunki
równoważne; przestrzenie Hausdorffa, przestrzenie regularne,
przestrzenie normalne.
Funkcje ciągłe w przestrzeniach topologicznych:
definicja i przykłady funkcji ciągłych, warunki równoważne ciągłości;
złożenie funkcji ciągłych.
Funkcje ciągłe w przestrzeniach topologicznych: homeomorfizmy –
definicja, przykłady.
Funkcje ciągłe w przestrzeniach topologicznych: odwzorowania
otwarte i domknięte.
Różne rodzaje przestrzeni topologicznych: przestrzenie ośrodkowe,
przestrzenie zupełne.
Różne rodzaje przestrzeni topologicznych: przestrzenie zwarte,
charakteryzacja zbiorów zwartych w przestrzeniach metrycznych;
przestrzenie spójne; własności funkcji ciągłych na zbiorach spójnych.
Suma godzin
Liczba godzin
2
2
2
2
2
2
3
1
2
2
2
2
2
2
2
30
3
Metody dydaktyczne
Wykład, rozwiązywanie zadań.
Sposób(y) i forma(y) zaliczenia
Ćwiczenia: zaliczenie na ocenę na podstawie 2 sprawdzianów
pisemnych w semestrze oraz aktywności na zajęciach.
Egzamin: część pisemna - zadaniowa i część ustna –
teoretyczna.
Nakład pracy studenta
Całkowity nakład pracy studenta Aktywność
w godz.
potrzebny
do
osiągnięcia
założonych efektów w godzinach wykład
30
oraz punktach ECTS
ćwiczenia
30
udział w konsultacjach
6
przygotowanie do kolokwiów
15
przygotowanie do ćwiczeń
45
przygotowanie do egzaminu
20
udział w egzaminie
4
SUMA GODZIN
150
LICZBA PUNKTÓW ECTS
6
Język wykładowy
polski
4