Przestrzeń unormowana – Wikipedia, wolna encyklopedia
advertisement
Przestrzeń unormowana – Wikipedia, wolna encyklopedia Załóż nowe konto Artykuł Dyskusja Zaloguj się Czytaj Edytuj Historia i autorzy Przekaż 1% podatku na rozwój Wikipedii KRS: 0000244732 Strona główna Kategorie artykułów Najlepsze artykuły Zgłoś błąd Częste pytania (FAQ) Dla czytelników Losuj artykuł Kontakt Wykluczenie odpowiedzialności Wspomóż Wikipedię Dla wikipedystów Narzędzia Drukuj lub eksportuj W innych językach Català Česky Dansk Deutsch Eesti Przestrzeń unormowana Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej. [edytuj] Spis treści [ukryj] 1 Definicja 2 Przykłady 3 Własności 4 Związek z innymi przestrzeniami Przestrzenie unormowane pojawiają się 4.1 Przestrzenie metryczne w naturalny sposób w analizie 4.2 Przestrzenie topologiczne matematycznej oraz innych działach 4.3 Przestrzenie unitarne matematyki takich jak, na przykład, 4.4 Przestrzenie sprzężone i przestrzenie operatorów rachunek prawdopodobieństwa czy 5 Bibliografia równania różniczkowe. Szczególnie 6 Przypisy istotne z punktu widzenia szeroko pojętych zastosowań są przestrzenie Banacha, tzn. przestrzenie unormowane mające pewną szczególną własność związaną z ich strukturą metryczną: zupełność. Historycznie to właśnie pewne konkretne przestrzenie Banacha, które jako pierwsze pojawiły się w kręgu zainteresowań matematyków pierwszej połowy XX w., stały się podwaliną powstania abstrakcyjnej (aksjomatycznej) teorii przestrzeni unormowanych. Teoria przestrzeni unormowanych, a szczególnie teoria przestrzeni Banacha jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej. English Español Definicja [edytuj] Français Italiano będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych [1] . Niech spełniające, dla wszystkich elementów przestrzeni Odwzorowanie עברית skalarów Íslenska Magyar z ciała warunki: niezdegenerowania, Nederlands 日本語 Português dodatniej jednorodności, Română Русский Slovenčina Svenska Українська nierówności trójkąta (podaddytywności), nazywa się normą (w przestrzeni Tiếng Việt przestrzenią unormowaną. 文言 Uwagi 中文 http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrzeń_unormowana[2013-03-16 22:01:14] ), a przestrzeń z określoną normą nazywa się i Przestrzeń unormowana – Wikipedia, wolna encyklopedia Edytuj linki Każde odwzorowanie spełniające warunki drugi i trzeci spełnia również warunek Z tego powodu wielu autorów zamiast pierwszego przyjmuje następujący warunek niezdegenerowania, Przykłady [edytuj] Zobacz też: przestrzeń Banacha i przestrzeń Hilberta. W przestrzeniach współrzędnych wprowadzić wiele norm; niech lub można Funkcje postaci są normami dla Normę , nazywanymi p-tymi normami. nazywa się często normą euklidesową i oznacza po o ile nie prowadzi to do nieporozumień. prostu W przestrzeni wzorem można wyróżnić także normę maksimum zadaną Jej oznaczenie jest zgodne z p-tymi normami w tym sensie, iż przy Jeżeli jest przestrzenią zwartą, to przestrzeń wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych, określonych na , jest przestrzenią unormowaną (a nawet przestrzenią Banacha) z normą daną wzorem Przykładem przestrzeni unormowanej, która nie jest zupełna jest np. , tj. podprzestrzeń przestrzeni wszystkich ciągłów przestrzeń liczbowych których tylko skończenie wiele wyrazów jest niezerowych. Większość przestrzeni unormowanych naturalnie pojawiających się w matematyce to przestrzenie Banacha – należą do nich, na przykład, przestrzenie L p , przestrzenie Sobolewa, przestrzenie Hardy'ego. Każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha, która nie jest domknięta jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha. Innym przykładem niezupełnej przestrzeni unormowanej jest przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa (o wartościach w przestrzeni nieskończeniewymiarowej). Własności Kule (koła) jednostkowe na płaszczyźnie dwuwymiarowej w i sensie norm [edytuj] Dwie normy przestrzeni liniowej nazywane są równoważnymi, gdy metryki przez nie generowane wyznaczają tę samą topologię, przez co zagadnienie równoważności norm sprowadza się do zagadnienia równoważności metryk. Dowodzi się, że warunkiem koniecznym i wystarczającym równoważności norm przestrzeni elementu jest istnienie dwóch takich dodatnich liczb rzeczywistych spełniałyby warunek http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrzeń_unormowana[2013-03-16 22:01:14] , w które dla każdego Przestrzeń unormowana – Wikipedia, wolna encyklopedia Z powyższego wynika bezpośrednio, że jeżeli dwie normy w danej przestrzeni są równoważne oraz jedna z nich jest zupełna (w sensie metryk przez nie indukowanych), to druga również jest zupełna. W skończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej istnieje dokładnie jedna topologia liniowa – oznacza to, że wszystkie normy są takiej przestrzeni parami równoważne i zupełne. W każdej nieskończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej można wprowadzić nieskończenie wiele parami nierównoważnych norm. Związek z innymi przestrzeniami Przestrzenie metryczne [edytuj] [edytuj] Osobny artykuł: przestrzeń metryczna. W przestrzeni unormowanej dla wzór indukuje metrykę na przestrzeni Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją. Przestrzenie topologiczne [edytuj] Osobne artykuły: przestrzeń topologiczna i przestrzeń liniowo-topologiczna. Topologia wyznaczona przez normę przestrzeni jest liniowa w tym sensie, że przestrzeń liniowa wraz z tą topologią tworzy przestrzeń liniowo-topologiczną (tzn. działania dodawania wektorów i działania mnożenia wektora przez skalar są ciągłe w sensie topologii produktowych, odpowiednio w X × X i K × X), która jest ponadto lokalnie wypukłaL standardową bazą lokalną otoczeń zera tej przestrzeni, złożoną z absolutnie wypukłych zbiorów domkniętych jest rodzina kul domkniętych o środku w zerze i promieniu Z drugiej strony, tzw. kryterium Kołmogorowa podaje warunek konieczny i wystarczający na to, aby w danej przestrzeni liniowo-topologicznej można było wprowadzić normę wyznaczającą wyjściową topologię przestrzeni (o przestrzeniach tego typu mówi się, że są normowalne): przestrzeń liniowotopologiczna jest normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest T1 oraz zawiera wypukłe i ograniczone otoczenie zera [2] (funkcjonał Minkowskiego wypukłego i ograniczonego otoczenia zera jest normą, która wyznacza wyjściową topologię przestrzeni). Przestrzenie unitarne [edytuj] Osobny artykuł: przestrzeń unitarna. Zobacz też: przestrzeń Hilberta i przestrzeń Kreina. Jeśli jest przestrzenią unitarną z iloczynem skalarnym to dla dowolnego wzór definiuje normę w tej przestrzeni. Taką normę nazywa się generowaną bądź indukowaną przez iloczyn skalarny. Normy te spełniają tożsamość równoległoboku: http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrzeń_unormowana[2013-03-16 22:01:14] Przestrzeń unormowana – Wikipedia, wolna encyklopedia Norma danej przestrzeni nie spełnia tożsamości równoległoboku, to nie można w niej wprowadzić iloczynu skalarnego; jeśli jednak spełnia ona tę tożsamość, to iloczyn skalarny zadany jest za pomocą następującej tożsamości polaryzacyjnej: Przestrzenie sprzężone i przestrzenie operatorów [edytuj] Osobne artykuły: norma operatora i przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna). Zobacz też: przestrzeń refleksywna. Jeżeli jest dowolną przestrzenią liniową nad ciałem to przestrzeń funkcjonałów liniowych określonych na i o wartościach w . nazywa przestrzenią sprzężoną algebraicznie do oznacza się zwykle symbolem i W kontekście przestrzeni unormowanych rozważa się jednak częściej rodzinę tych funkcjonałów , nazywaną przestrzenią liniowych na nich określonych, które są ciągłe: tworzą one przestrzeń sprzężoną topologicznie; w przestrzeni tej można w naturalny sposób wprowadzić normę operatorową. Na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa przestrzenie sprzężone do przestrzeni unormowanych są zawsze przestrzeniami Banacha (ograniczając się do przestrzeni nad ciałem liczb jest zupełna. rzeczywistych bądź zespolonych), niezależnie od tego, czy przestrzeń Każdą przestrzeń unormowaną X można izometrycznie zanurzyć w drugą przestrzeń sprzężoną , poprzez odwzorowanie dane wzorem . Z twierdzenia Goldstine'a wynika, że obraz przestrzeni X poprzez odwzorowanie jest gęstym w sensie -topologii. Ważną klasę przestrzeni unormowanych stanowią podzbiorem przestrzenie refleksywne, tzn. te przestrzenie unormowane dla których odwzorowanie jest jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy X ma tę własność, a suriekcją. Przestrzeń więc każda unormowana przestrzeń refleksywna jest automatycznie przestrzenią Banacha. przestrzeni unormowanych można stowarzyszyć przestrzeń Z każdą parą wszystkich ciągłych operatorów liniowych W przestrzeni wprowadza się normę wzorem Ostatnie dwie równości mają sens tylko w przypadku, gdy Bibliografia jest przestrzenią nietrywialną. [edytuj] John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0387972455. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976. Nicolas Bourbaki: Topological vector spaces. Berlin: Springer, 1987, s. I.3. ISBN 3-540-42338-9. Przypisy http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrzeń_unormowana[2013-03-16 22:01:14] Przestrzeń unormowana – Wikipedia, wolna encyklopedia 1. ↑ Niektóry autorzy, jak na przykład Nicolas Bourbaki, podają ogólniejszą definicję przestrzeni unormowanej dopuszczając by K było dowolnym pierścieniem waluacji z dzieleniem – nie jest to jednak powszechna praktyka. 2. ↑ A. Kołmogorow, Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes, Studia Math. vol. 5 (1934) ss. 29-33 Kategoria: Przestrzenie Banacha Tę stronę ostatnio zmodyfikowano 23:18, 12 mar 2013. Tekst udostępniany na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o warunkach korzystania. Zasady zachowania poufności O Wikipedii Wersja dla urządzeń mobilnych http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrzeń_unormowana[2013-03-16 22:01:14] Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność
