Elementy Topologii - Zjazd 2

Przestrzenie metryczne
Elementy Topologii
Zjazd 2
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Definicja
Przestrzenia˛ metryczna˛ (X , d ) nazywamy pare˛ złożona˛ ze
zbioru X i funkcji d : X × X → R, taka,
˛ że
1
d (x, y) ≥ 0 oraz d (x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y,
2
d (x, y) = d (y, x),
3
d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z)
(warunek trójkata).
˛
Zamiast pierwszego warunku, można założyć
1
"(1’)"d (x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y.
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Przykłady
Liczby rzeczywiste R, d (x, y) = |y − x|.
Przestrzeńq
n-wymiarowa Rn z metryka˛ euklidesowa,
˛
Pn
2
de (x, y) =
i=1 (yi − xi ) .
Przestrzeń n-wymiarowa Rn z metryka˛ maksimum,
dm (x, y) = maxi=1,...,n {|yi − xi |}.
PrzestrzeńP
n-wymiarowa Rn z metryka˛ taksówkowa,
˛
n
dt (x, y) = i=1 |yi − xi |.
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Przykłady
Niech X bedzie
˛
dowolnym zbiorem. Metryka˛ dyskretna˛ na
X nazywamy funkcje:
˛
(
1 gdy x 6= y,
d (x, y) =
0 gdy x = y.
Funkcje ciagłe
˛
na odcinku [a, b],
d (f , g) = sup{|g(x) − f (x)| : x ∈ [a, b]}.
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Definicja
Przekształcenie f : X → Y nazywamy ciagłym
˛
jeśli spełnia
nastepuj
˛ acy
˛ warunek: dla każdego x0 ∈ X oraz dla każdego
ǫ > 0 istnieje δ > 0 taka, że dla dowolnego x ∈ X
d (x0 , x) < δ =⇒ d (f (x0 ), f (x)) < ǫ
Definicja
Niech (X , d ) bedzie
˛
przestrzenia˛ metryczna.
˛ Mówimy, że ciag
˛
{xn }∞
jest
zbieżny
do
punktu
p
∈
X
jeśli
n=1
∀ǫ > 0 ∃N ∈ N takie, że [n ≥ N =⇒ d (xn , p) < ǫ].
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Definicja
Punkt p ∈ X nazywamy punktem granicznym zbioru A jesli
istnieje ciag
˛ {xn }∞
n=1 zawarty w A którego granica˛ jest p.
Oczywiście, punkt graniczny zbioru A nie musi neleżeć do A.
Na przykład, jeśli X = R, zaś A = (0, 1), to 0 i 1 sa˛ punktami
granicznymi zbioru A, które nie należa˛ do A.
Definicja
Podzbiór A przestrzeni metrycznej X nazywamy domknietym
˛
jeśli zawiera wszystkie swoje punkty graniczne.
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Niech x0 ∈ X bedzie
˛
ustalonym punktem, zaś r > 0 liczba˛
rzeczywista.
˛
Kula otwarta o środku w punkcie x0 i promieniu r :
B(x0 , r ) = {x ∈ X | d (x, x0 ) < r }
Kula domknieta
˛ o środku w punkcie x0 i promieniu r :
B̃(x0 , r ) = {x ∈ X | d (x, x0 ) ≤ r }
Sfera o środku w punkcie x0 i promieniu r :
S(x0 , r ) = {x ∈ X | d (x, x0 ) = r }
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Na płaszczyźnie, zbiory te wygladaj
˛ a˛ w sposób nastepuj
˛ acy:
˛
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Definicja
Podzbiór E ⊆ X nazywamy otwartym, jeśli dla każdego x ∈ E
istnieje r > 0 takie, że B(x, r ) ⊆ E .
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Twierdzenie
Zbiór pusty i cała przestrzeń sa˛ zbiorami otwartymi. Ponadto
suma dowolnej liczby i przeciecie
˛
skończonej liczby zbiorów
otwartych jest zbiorem otwartym.
Twierdzenie
Funkcja jest ciagła
˛
wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz
każdego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym.
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Uwaga: Zbiór (0, 1] zawarty w R nie jest ani otwarty ani
domkniety.
˛
Zwiazek
˛
otwartości i domknietości:
˛
Twierdzenie
Podzbiór A przestrzeni metrycznej X jest domkniety,
˛ wtedy i
tylko wtedy gdy jego dopełnienie jest otwarte.
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Definicja
Domknieciem
˛
zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów
granicznych zbioru A. Domkniecie
˛
zbioru A oznaczamy przez
A.
Ponieważ każdy punkt p ∈ A jest punktem granicznym zbioru A
(jako granica ciagu
˛ stałego, którego każdy wyraz równa sie˛ p),
mamy A ⊆ A.
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Definicja
Wnetrzem
˛
zbioru A nazywamy zbiór
{x ∈ A | ∃ǫ > 0 takie, że B(x, ǫ) ⊆ A}
Zbiór ten oznaczamy przez int A.
Na płaszczyźnie z metryka˛ euklidesowa,
˛ wnetrzem
˛
kuli
domknietej
˛ jest kula otwarta zas domknieciem
˛
kuli otwartej jest
kula domknieta.
˛
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Definicja
Podzbiór A przestrzeni metrycznej X nazywamy gestym,
˛
jeśli
A = X.
Przykład: iczby wymierne Q zawarte w R.
Twierdzenie (twierdzenie Weierstrassa)
W przestrzeni funkcji ciagłych
˛
na odcinku [0,1] z metryka˛
supremum, zbiór funkcji wielomianowych jest gesty.
˛
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Definicja
Brzegiem A nazywamy zbiór:
bd A = A ∩ X \ A
Uwaga: brzeg zależy od otaczajacej
˛ przestrzeni:
brzegiem odcinka (0, 1] jako podzbioru R jest zbiór {0, 1}.
brzegiem zbioru (0, 1] × {0} w R2 jest zbiór [0, 1] × {0}.
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Definicja
Niech A bedzie
˛
podzbiorem przestrzeni metrycznej X .
Średnica˛ zbioru A (oznaczenie diam A) nazywamy liczbe˛
diam A = sup d (x, y)
x,y ∈A
o ile A 6= ∅, zaś liczbe˛ 0 w przeciwnym przypadku.
Zatem diam [0, 1] = diam (0, 1) = 1, zaś diam R = ∞.
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Definicja
Podzbiór K przestrzeni metrycznej X nazywamy zwartym, jeśli
każdy ciag
˛ punktów przestrzeni K posiada podciag
˛ zbieżny do
pewnego puntku p ∈ K .
Przestrzeń dyskretna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy
jest skończona.
Odcinek (0, 1) nie jest zwarty. Z ciagu
˛ an = n1 nie da sie˛
wybrać podciagu
˛ zbieżnego w tej przestrzeni.
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Twierdzenie
Odcinek I = [0, 1] jest zwarty.
Dowód Niech bedzie
˛
dany dowolny ciag
˛ nieskonczony an .
Dzielimy odcinek I na dwie równe cz˛eści:
1
[0, ]
2
oraz
1
[ , 1].
2
Przynajmniej w jednej z tych cz˛eści leży nieskończenie wiele
wyrazów tego ciagu.
˛
Wybierzmy ja˛ (lub jedna˛ z nich jeśli obie spełniaja˛ ten warunek)
i oznaczmy przez I1 .
Otrzymany odcinek dzielimy na dwie cz˛eści i powtarzamy
procedure˛ otrzymujac
˛ I2 .
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Mamy wiec
˛
1
2n
Nastepnie
˛
wybieramy podciag
˛ ciagu
˛ an który oznaczamy przez
bn , taki, że
b1 ∈ I1 , b2 ∈ I2 , . . .
I ⊃ I1 ⊃ I2 . . . ,
|In | =
Z konstrukcji wynika, że jest to ciag
˛ Cauchy: dla n, m ≥ N
mamy
|bn − bm | ≤ sup |x − y| = |IN | =
x,y ∈IN
1
,
2N
skoro
In , Im ⊆ IN .
Zatem ciag
˛ {bn } jest zbieżny w R.
Jednocześnie z konstrukcji wynika, że jego granica należy do I.
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Twierdzenie
Zwarta przestrzeń metryczna X jest ograniczona.
Dowód Nie wprost. Załóżmy, że X nie jest ograniczona.
Niech x0 ∈ X . Dla każdego n ≥ 1 możemy wybrać xn ∈ X , taki,
że d (xn , x0 ) ≥ n.
Taki ciag
˛ nie ma podciagu
˛ zbieżnego: Załóżmy, że
limk →∞ xnk = p.
Wtedy dla nieskończenie wielu wyrazów ciagu
˛ xn mielibyśmy
d (x0 , xn ) ≤ d (x0 , p) + 1, co jest sprzeczne z wyborem ciagu
˛ xn .
W ostatniej nierówności zastosowaliśmy nierówność trójkata
˛ do
punktów x0 , xn i p dla n = nk i odpowiednio dużych k.
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Twierdzenie
Każdy zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest domkniety.
˛
Twierdzenie
Domkniety
˛ podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.
Twierdzenie
Niech X i Y bed
˛ a˛ przestrzeniami metrycznymi, zaś f
przekształceniem ciagłym.
˛
Wtedy, jeśli A jest zwarta˛
podprzestrzenia˛ X , to f (A) jest zwarta˛ podprzestrzenia˛ Y .
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Twierdzenie
Jeśli (X , dX ) oraz (Y , dY ) sa˛ zwartymi przestrzeniami
metrycznymi, zaś w iloczynie kartezjańskim wprowadzimy
metryk˛e
q
d ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = [dX (x1 , x2 )]2 + [dY (y1 , y2 )]2 ,
to X × Y jest przestrzenia˛ zwarta.
˛
Elementy Topologii
Przestrzenie metryczne
Twierdzenie
(Twierdzenie Heinego-Borela) Podzbiór X przestrzeni Rn jest
zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkniety
˛ i ograniczony.
Dowód Załóżmy, że podprzestrzeń X jest zwarta.
Z rezultatów powyżej wynika, że X jest zbiorem ograniczonym i
domknietym.
˛
Załóżmy teraz, że X jest zbiorem ograniczonym i domknietym.
˛
Skoro X jest ograniczony, wiec
˛ leży w pewnej kostce [−M, M]n
gdzie M jest odpowiednio duża˛ liczba˛ rzeczywista.
˛
Kostka jest zbiorem zwartym na mocy powyższego twierdzenia,
a wiec
˛ X , jako domkniety
˛ podzbiór przestrzeni zwartej jest
przestrzenia˛ zwarta.
˛
Elementy Topologii