praca magisterska - 0121115337

Wstęp:Zagadnienie
przydziału występuje w wielu problemach technicznych i ekonomicznych. Na
przykład w dziedzinie zarz±dzania personelem ma ono następuj±c± postać.
Przypu¶ćmy, że mamy do dyspozycji n pracowników, z których każdy może zaj±ć
dowolne z liczby n stanowisk pracy. Załóżmy, że okre¶lona jest warto¶ć
wykonywanej pracy ( po jednym na każde stano-wisko ), aby ogólna warto¶ć
wykonywanej pracy była maksymalna. Takie rozmieszczenie nazywa się optymalnym
przydziałem. Może istnieć pewna skończona liczba przydziałów optymalnych o
identycznej warto¶ci funkcji celu. Algorytm węgierski pozwala na stosunkowo szybkie
uzyskanie rozwi±za-nia optymalnego. Punkt wyj¶cia stanowi takie przekształcenie
macierzy kosztów, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie występowało
przynajmniej jedno ze-ro. W tym celu od każdego wiersza macierzy współczynników
funkcji celu odejmujemy jego najmniejszy element i ( jeżeli trzeba) od każdej kolumny
tak przekształconej macierzy odejmujemy jej najmniejszy element.Następnie
skre¶lamy w przekształconej macierzy współczynników funkcji celu wierszy i kolumn
zawieraj±cych zera możliwie najmniejsz± liczb± li-nii. Jeżeli najmniejsza liczba linii
niezbędnych do pokrycia wszystkich zer jest równa wymiarowi macierzy to
otrzymane rozwi±zanie jest rozwi±za-niem optymalnym.Ustalenie rozwi±zania
optymalnego, polegaj±cego na takiej konstrukcji macierzy [ xij ], aby jedynki znalazły
się na takich polach na których w przekształconej macierzy współczynników funkcji
celu występuj± zera ( należy pamiętać, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie
wyst±piła tylko jedna jedynka.Jeżeli liczba skre¶leń jest mniejsza od wymiaru
macierzy, w przekształco-nej macierzy kosztów należy znaleĽć najmniejszy nie
skre¶lony element i ten element:a)
odj±ć od elementów nie skre¶lonych,b)
dodać do elementów podwójnie skre¶lonych.Elementy raz skre¶lone zostawiamy bez
zmian.W otrzymanej macierzy współczynników funkcji celu ponownie staramy się
skre¶lić zera możliwie najmniejsz± liczb± linii. Procedurę powtarzamy, aż do
uzyskania rozwi±zania optymalnego.Zadanie:Firma posiada 3 pracowników i 4 prace
do wykonania. Należy optymalnie przydzielić pracowników na poszczególne prace z
punktu widzenia mak-symalizacji zysku przedsiębiorstwa. Pracownicy
Zadania
1
2
3
4
A
7
10
6
8
B
14
12
10
20
C
5
3
8
4Rozwi±zanie:Zakładamy, że do
jednego z zadań trzeba będzie zatrudnić pracownika z zewn±trz ( zyski z tego dla
naszego przedsiębiorstwa będ± równe zeru ).Przed przyst±pieniem do budowy
modelu należy dopisać czwarty wiersz z elementami równymi zeru.Pracownicy
Zadania
1
2
3
4
A
7
10
6
8
B
14
12
10
20
C
5
3
8
4
D
0
0
0
0Następnie macierz zysków przekształcić do takiej postaci, która
będzie mi-nimalizowana. Przekształcenie polega na odjęciu od największego
elemen-tu macierzy (a24=20) wszystkich pozostałych jej elementów.Otrzymana
macierz ma postać: Model zagadnienia ma postać:każdy pracownik może
wykonywać tylko jedno zadanie:
do każdego zadania może być
przydzielony tylko jeden pracownik:
xij 0 dla i= 1,2,3,4;
j=1,2,3,4,Funkcja celu ma postać:
Do tak sformułowanego zadania
można już zastosować algorytm węgier-ski ( patrz Wstęp ). Po odjęciu najmniejszych
elementów poszczególnych wierszach otrzymujemy macierz w której zera występuj±
we wszystkich kolumnach i, od razu można rozmie¶cić jedynki w klatkach z zerami
(licz-ba linii pokrywaj±cych wszystkie zera jest równa 4). Rozwi±zanie optymalne jest
następuj±ce: Pytanie: Jak zmieni się rozwi±zanie jeżeli koszty realizacji zadania 3
zwiększ± się o 50 % ?Pracownicy
Zadania
1
2
3
4
A
7
10
9
8
B
14
12
15
20
C
5
3
12
4
D
0
0
0
0
Wnioski:Celem zadania było przydzielenie pracowników na poszczególne prace z
punktu widzenia maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa.Pracownika A należy
przydzielić do zadania drugiego, pracownika B- do czwartego, pracownika C- do
trzeciego, natomiast zadanie pierwsze powi-nien wykonywać pracownik spoza
przedsiębiorstwa. Przed zwiększeniem kosztów zadania 3 ł±czny zysk
przedsiębiorstwa wynosił (10+20+3)=33. Natomiast po zwiększeniu kosztów
realizacji zadania o 50% wzrósł rów-nież zysk przedsiębiorstwa i wyniósł
(10+20+12)=42Literatura:1. Jędrzejczyk Z., Skrzypek J., Kukuła K., Walkosz A. pod
redakcj± Karola Kukuły, „Badania operacyjne w przykładach i zadaniach
„ , Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 19962. Filipowicz B.
„Badania operacyjne. Wybrane metody obliczeniowe i al-gorytmy cz.I
„ Kraków 1997x60