egz1990

POLITECHNIKA GDA‹SKA
Gda«sk, lipiec 1990 r.
Tematy I cz¦±ci egzaminu z matematyki
dla kandydatów ubiegaj¡cych si¦ o przyj¦cie na I rok studiów dziennych.
Kandydat wybieraª 3 dowolne zadania. Rozwi¡zania wybranych zada« oceniane
byªy w skali 010 punktów. Egzamin trwaª 120 minut.
1. Zbada¢ przebieg zmienno±ci funkcji
y=
x2 + x + 1
,
x2 − x + 1
sporz¡dzi¢ jej wykres i na tej podstawie ustali¢ ile pierwiastków posiada równanie
x2 + x + 1
=m
x2 − x + 1
w zale»no±ci od parametru m.
2. Dla jakich warto±ci parametru t, przy dowolnej warto±ci parametru k , równanie
√
x2 + x k 2 + 4 − k log 1 (t + 1) = 0
2
posiada dwa ró»ne pierwiastki?
3. Rozwi¡za¢ nierówno±¢
q
lim ( n2 + (2 + sin 2x)n + 4 − n) < 1 +
n→∞
1
cos 2x.
2
4. Dwie kule o promieniach R i x (R > x) s¡ styczne zewn¦trznie. Przy jakim x
obj¦to±¢ sto»ka opisanego na tych kulach b¦dzie najmniejsza?
5. W urnie U1 znajduj¡ si¦ dwie kule czarne i pewna ilo±¢ kul biaªych. W urnie
U2 znajduje si¦ 5 kul biaªych i 3 czarne. Z pierwszej urny losujemy dwie kule i
przekªadamy je do urny drugiej. Nast¦pnie z urny drugiej losujemy jedn¡ kul¦.
Poda¢ minimaln¡ ilo±¢ biaªych kul znajduj¡cych si¦ w urnie U1 , je±li wiadomo,
»e prawdopodobie«stwo wylosowania kuli biaªej z urny U2 jest wi¦ksze od 0, 6.
POLITECHNIKA GDA‹SKA
Gda«sk, lipiec 1990 r.
Tematy II cz¦±ci egzaminu z matematyki
dla kandydatów ubiegaj¡cych si¦ o przyj¦cie na I rok studiów dziennych.
Wszystkie zadania byªy oceniane w skali 02 punkty. Egzamin trwaª 120 minut.
1. Naszkicowa¢ wykres funkcji y = x|x + 1|.
2. Obliczy¢ cos2 105◦ − sin2 105◦ .
3. Rozwi¡za¢ nierówno±¢ ||x| − 1| < 2.
4. Obliczy¢ granic¦ lim
n→∞
1
1
1
1
1 − 1 + 2 − 3 + . . . + (−1)n n .
2
2
2
2
5. Wektor ~a = [3, 7] przedstawi¢ jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów ~e1 = [2, 3]
i ~e2 = [−1, 1].
6. Obliczy¢ granice lim x sin
x→0
1
i
x
1
lim x sin .
x→+∞
x
7. Dana jest funkcja f (x) = log 1 (x + 1). Rozwi¡za¢ nierówno±¢ f (f (x)) > 0.
3
8. Rozwi¡za¢ równanie 22x + 4x = 5x .
9. Poda¢ równanie jednej z prostych, na której le»y ±rodek okr¦gu opisanego na
trójk¡cie o wierzchoªkach A(1, 3), B(2, 7) i C(3, 10).
10. Dla jakich warto±ci parametru k funkcja f (x) = x3 − x2 + kx b¦dzie rosn¡ca
w caªym zbiorze liczb rzeczywistych?
11. Dane s¡ zbiory
A = {(x, y): (x − 1)2 + y 2 ¬ 1} oraz B = {(x, y): y ­ x}.
Naszkicowa¢ zbiór A ∩ B i obliczy¢ jego pole.
12. W oparciu o denicj¦ pochodnej obliczy¢ f 0 (1) dla funkcji f (x) =
13. Zdarzenia losowe A i B s¡ rozª¡czne i P (A) =
P (A ∪ B) oraz P (A − B).
1
,
3
a P (B) =
√
1
.
2
x2 + 3.
Obliczy¢
14. Napisa¢ równanie sycznej do krzywej y = x3 +x2 +x+1 równolegªej do prostej
y = 23 x.
15. Sformuªowa¢ twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.