Przykładowe zadania z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki
advertisement
Przykładowe zadania z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.
1. Ze zbioru wszystkich wierzchołków n-kąta foremnego losujemy trzy różne
wierzchołki i zakładamy, że wszystkie wyniki losowania są jednakowo
prawdopodobne. Wiedząc, że liczba przekątnych tego wielokąta wynosi 9, oblicz
prawdopodobieństwo, że wybrane losowo trzy wierzchołki wyznaczają trójkąt
równoboczny lub równoramienny.
2. Dany jest zbiór Z {( x, y) : x N i y N i x y 1 3}. Niech X oznacza
Z . Wyznacz rozkład
odległość między dwoma różnymi elementami zbioru
prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, jej wartość oczekiwaną i wariancję.
3. Ze zbioru liczb 1, 2, 3, ..., 15n 1} , gdzie n 1, losujemy kolejno trzy razy po jednej
liczbie ze zwracaniem i oznaczamy kolejno wylosowane liczby przez: x1 , x 2 , x3 .
Niech C n oznacza zdarzenie: x1 x2 x3 jest liczbą podzielną przez 15. Oblicz
lim P(C n ) .
n
4. W schemacie n prób Bernoulliego prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie
wynosi p. Dla jakiej wartości p prawdopodobieństwo uzyskania 4 sukcesów jest
największe?
5. W urnie znajduje się 6 kul białych i 10 kul czarnych. Do urny wrzucono b kul białych,
a następnie wylosowano dwie kule bez zwracania. Oblicz b, dla którego
prawdopodobieństwo wylosowania kul o różnych kolorach jest równe
prawdopodobieństwu wylosowania kul o tym samym kolorze.
6. Opierając się na aksjomatach Kołmogorowa uzasadnij, że zachodzi następujący
wzór: P( A | B) P( A) P( A B).
7. Oblicz P ( A B ' ) gdy są znane P( A) oraz P ( B | A) .
8. Pan Anatol skreślił na kuponie lotto te same numery , które pojawiły się w ostatnim
losowaniu, natomiast Pan Karol zmienił numery . Który z nich ma wieksze
prawdopodobieństwo wygrania?
9. Do pudełka włożono 10 kartek z literami: A, A, A, E, K, M, M, T, T, Y. Po
pomieszaniu kartek wyciągamy je na chybił trafił i układamy kolejno w jednym
rzędzie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że powstanie wyraz
MATEMATYKA.
10. (Rosyjska ruletka) W urnie jest sześć kul : 5 białych i 1 czarna. Paweł i Gaweł losują
po kolei po jednej kuli. Przegrywa ten, kto pierwszy wyciągnie kulę czarną. Czy
prawdopodobieństwo przegranej jest większe dla tego, który rozpoczyna? Jak zmieni
się sytuacja, gdy w urnie będą 4 kule białe i 1 czarna?
