n+m

LIGA ZADANIOWA
ROZWIĄZANIA ZADAŃ Z GRUDNIA
Zad. 1.
W urnie znajduje się 311 kul w kolorach: białym, czarnym, zielonym, niebieskim,
czerwonym i żółtym. Ile co najmniej kul należy wylosować, aby wśród nich znalazło się
na pewno 11 kul jednego koloru?
Zad. 2.
Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych n i m, takie że 2/(n+m)=5/n·m.
Zad. 3.
Flaga Czech jest prostokątem o proporcji boków3:2, podzielonym
na dwa równej wielkości poziome pasy: biały i czerwony. Na te
pasy jest z lewej strony nałożony niebieski trójkąt sięgający
wierzchołkiem do środka flagi. Puszka farby starcza na pomalowanie 8 m2 powierzchni
ściany. Ile puszek każdego koloru należy zużyć, aby namalować flagę Czech o długości
12 m na ścianie budynku ambasady Czech w Polsce?
Odpowiedzi:
Zad. 1.
W najgorszym razie (to znaczy w najdłuższym możliwym losowaniu, w którym nie mamy
jeszcze 11 kul jednego koloru) wyciągniemy po 10 kul każdego koloru, czyli 60 kul.
Wtedy następna wylosowana kula (niezależnie od jej koloru) spowoduje, że będziemy
mieli 11 kul jednego koloru. Stąd należy wylosować co najmniej 61 kul, aby wśród nich
znalazło się na pewno 11 kul jednego koloru.
Zad. 2.
Są trzy takie pary: (3, 15), (5, 5) i (15, 3). Dane równanie jest równoważne równaniu
2n·m = 5n+5m i dalej n(2m-5) = 5m. Ponieważ m jest liczbą naturalną, to 2m-5 ≠ 0
i możemy podzielić obie strony równania przez tę liczbę. Wówczas dostaniemy n = 5m/2m-5.
Licznik tego ułamka możemy zapisać jako 4m−10 + m+10, a cały ułamek jako
4m−10
/2m−5 + m+10/2m−5, a to jest równe 2 + m+10/2m−5. Ponieważ ten wynik ma być liczbą
naturalną (bo jest przecież równy n), licznik musi być większy od mianownika
(czyli m+10 > 2m−5, co daje m<15) i musi dzielić się przez mianownik bez reszty. Teraz
wystarczy podstawiać za m kolejne liczby naturalne od 1 do 15 i sprawdzać, kiedy wynik
dzielenia jest liczbą naturalną.
Zad. 3.
Biały i czerwony kolor tworzą trapezy o polach równych (6+12)/2·4=36 m2. Natomiast
niebieski trójkąt ma pole równe 1/2·8·6=24 m2. Stąd do namalowania flagi potrzeba
3 puszek farby niebieskiej i po 5 puszek farb białej i czerwonej (dokładniej rzecz biorąc,
potrzeba po 4,5 puszki, ale farba sprzedawana jest przecież w pełnych puszkach).