Document

1. W loterii bierze udział 100 losów, z których dokładnie 5 wygrywa. Kupiono 3 losy. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że wśród nich :
a) dokładnie jeden wygrywa,
b) co najmniej jeden wygrywa?
2.
3.
Na egzamin przygotowano 30 zadań, z których zdający losuje 3. Jeżeli rozwiąże co
najmniej 2 zadania, to zda egzamin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdający zda
2
egzamin, jeśli umie rozwiązać
zadań?
3
Gracz wypełnia jeden zakład „Małego Lotka” (z 35 liczb wykreśla 5). Jakie jest
prawdopodobieństwo wytypowania trafnie:
a) pięciu liczb,
b) czterech liczb,
c) trzech liczb?
4. Z urny zawierającej 5 kul białych i 10 czarnych losujemy 4 kule. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wylosowanych kul są:
a) wszystkie czarne,
b) dwie czarne,
c) co najwyżej jedna biała,
d) co najmniej jedna biała.
5. W paczce znajduje się 10 książek po 12 zł, 7 po 15 zł i 5 po 17 zł. Oblicz
prawdopodobieństwo, że trzy losowo wybrane książki są w tej samej cenie.
6. W zestawie egzaminacyjnym umieszczono pytania z trzech działów matematyki: 24 z
algebry, 18 z geometrii i 12 z rachunku prawdopodobieństwa. Zdający losuje trzy pytania
(bez zwracania). Jakie ma prawdopodobieństwo:
a) wylosowania po jednym pytaniu z każdego działu
b) wylosowania trzech pytań z algebry
c) wylosowania dwóch pytań z rachunku prawdopodobieństwa i jednego z geometrii?
7.
W czasie spotkania towarzyskiego, na którym było 10 par małżeńskich (20 osób), wybrano
losowo trzech mężczyzn i trzy kobiety. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród
wybranych osób:
a) nie będzie męża i żony,
b) będzie jedna para małżeńska,
c) będą dwie pary małżeńskie?
8.
Z urny, w której znajduje się 10 białych i 5 czarnych kul, dwukrotnie losujemy po jednej
kuli. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu kul o różnych kolorach, a
zdarzenie B oznacza wylosowanie kul w tym samym kolorze.
a) Oblicz P ( A ) i P ( B ) wiedząc, że losowanie kul odbywa się ze zwracaniem.
b) Ile kul czarnych należy dodać do urny, Aby P ( A ) = P ( B ), gdy losujemy kule
bez zwracania?
W urnie znajduje się n kul, z których 5 jest czarnych. Jakie powinno być n, aby przy
losowaniu dwóch kul bez zwracania prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej było
1
większe od .
3
9.
66
10. W pudełku P1 umieszczono trzy piłki białe i dwie czarne. W pudełku P2 umieszczono pięć
piłek białych i trzy czarne. Pudełka P1 i P2 nie zawierają ( poza wymienionymi ) żadnych
innych piłek. Losujemy dwie piłki na dwa sposoby:
1) obie piłki losujemy z pudełka P2,
2) losujemy po jednej piłce z każdego pudełka.
Który ze sposobów daje mniejsze prawdopodobieństwo wylosowania dwóch piłek
o różnych kolorach?
11. Ze zbioru { -1, 2, 4, 5, 7 } losujemy kolejno ze zwracaniem parę liczb ( x, y ) . Niech A
i B będą następującymi zdarzeniami :
A – suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą większą od 3,
B – wylosowana para liczb ( x, y ) spełnia warunek : x  y  x  1 .
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A, B oraz A  B.
12. Na loterii jest 12 losów, w tym k wygrywających. Zakupiono dwa losy.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu
dokładnie jednego losu wygrywającego?
b) Ile powinno być losów wygrywających, aby prawdopodobieństwo zajścia
1
zdarzenia A było większe od ?
6
13. Do windy na parterze 18-piętrowego domu weszło 4 pasażerów. Każdy z pasażerów może
wysiąść na dowolnym piętrze, począwszy od dwunastego, z tym samym
prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że
a) wszyscy wysiądą na 16 piętrze,
b) wszyscy wysiądą na tym samym piętrze,
c) wszyscy wysiądą na różnych piętrach.
14. Z talii pięćdziesięciodwukartowej losujemy jedną kartę . Sprawdź czy zdarzenia A i B są
niezależne , jeśli :A – otrzymamy figurę (walet , dama , król , as ) , B – otrzymamy pika.
15. Ze zbioru liczb 1, 2 , 3, 4 , 5  losujemy najpierw dwie różne cyfry, a następnie jedną cyfrę
z pozostałych. Niech A oznacza zdarzenie, które polega na wylosowaniu za pierwszym
razem dwóch cyfr, których suma jest większa od 5, B – na wylosowaniu za pierwszym
razem dwóch cyfr, których iloczyn nie jest podzielny przez 3, C – na wylosowaniu za
drugim razem cyfry mniejszej niż 3 nie znając wyniku pierwszego losowania.
a) Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne.
b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia C.
16. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma
wyrzuconych oczek jest co najmniej 11, zaś B – zdarzenie polegające na tym, że w
pierwszym rzucie wypadła parzysta liczba oczek. Zbadaj, czy zdarzenia A i B są
niezależne.
17. Wśród wszystkich bliźniąt 64% to bliźnięta tej samej płci. Oblicz prawdopodobieństwo,
że drugie z bliźniąt jest dziewczynką, pod warunkiem, że:
a) pierwsze jest dziewczynką,
b) pierwsze jest chłopcem,
jeśli prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca wynosi 0,51 .
67
18. Z cyfr {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} układamy liczby dwucyfrowe o nie powtarzających się
cyfrach (pierwsza wybrana cyfra to cyfra dziesiątek , druga to cyfra jedności) . Jakie jest
prawdopodobieństwo uzyskania liczby parzystej , jeżeli za pierwszym razem wylosowano
trójkę ?
19. Z talii pięćdziesięciodwukartowej losujemy jedną kartę . Oblicz prawdopodobieństwo
otrzymania asa , jeżeli wiadomo , że otrzymana karta jest pikiem.
20. Rzucamy dwa razy kostką do gry . Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek
równej 8 , jeżeli wiadomo , że za pierwszym razem wypadła liczba nieparzysta .
21. Z cyfr {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} układamy liczby dwucyfrowe o cyfrach mogących się
powtarzać (pierwsza wybrana cyfra to cyfra dziesiątek , druga to cyfra jedności) . Jakie jest
prawdopodobieństwo uzyskania liczby podzielnej przez 5 , jeżeli pierwsza cyfra (cyfra
dziesiątek) jest parzysta ?
22. W grupie 15 uczniów zgłoszonych do biegów przełajowych jest 10 chłopców i 5
dziewcząt. Prawdopodobieństwo zdobycia punktowanego miejsca przez dziewczynę
1
1
wynosi , a przez chłopca . Jakie jest prawdopodobieństwo , że losowo wybrany uczeń
8
6
zajmie miejsce punktowane ?
23. Z urny zawierającej 7 kul białych , 3 zielone i 5 czarnych losowo wyjęto jedną kulę, a
następnie włożono do tej urny dwie kule o kolorze kuli wylosowanej . Oblicz
prawdopodobieństwo że wylosowana teraz z urny jedna kula będzie czarna.
24. Zakład produkujący żarówki pracuje na dwie zmiany. Przeciętnie pierwsza zmiana
wypuszcza 5% żarówek wadliwych, a druga zmiana 3%. Pierwsza zmiana wytwarza
dwukrotnie więcej żarówek niż druga. Wszystkie żarówki sprzedawane są w sklepie
przyzakładowym. Kupiliśmy jedną żarówkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest
dobra?
25. Dane są dwie urny z kulami : w pierwszej jest 5 kul białych i 5 czarnych , w drugiej 4
białe i 6 czarnych. Rzucamy kostką do gry. Jeżeli wypadnie liczba podzielna przez 3 to
losujemy jedną kulę z urny I , w przeciwnym wypadku jedną kulę z urny II. Jakie jest
prawdopodobieństwo , że wylosowana kula jest czarna?
1


26. Ze zbioru Z   x : x  N  x   x  6 losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby i
x


układamy je obok siebie, tworząc liczbę dwucyfrową, której cyfrą dziesiątek jest pierwsza
z wylosowanych liczb.
Oblicz prawdopodobieństwa wylosowanych zdarzeń:
A – otrzymana liczba jest parzysta
B – otrzymana liczba jest podzielna przez 3.
b) Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne.
68