KLASA IV (profil mat-inf) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Opracowanie: Marzena Orlińska
KLASA IV (profil mat-inf)
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Powtórzenie
1. W urnie jest 10 kul białych, 5 czarnych i 3 zielone. Wyjmujemy losowo 4 kule. Oblicz
prawdopodobieństwo tego, Ŝe wśród wyciągniętych kul:
a) będzie dokładnie jedna zielona;
b) będzie co najmniej jedna zielona;
c) będzie co najwyŜej jedna zielona
d) będą kule jednego koloru
2. Z talii 24 kart wyjmujemy losowo 5. Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe wyjmiemy:
a) dokładnie 2 kiery
b) karty w jednym kolorze
c) 2 asy, 2 króle i 1 damę.
3. Rzucamy 3 razy kostką do gry i określamy zdarzenia: A – na kaŜdej kostce wypadła inna liczba oczek,
B – na kaŜdej kostce co najmniej 4 oczka. Oblicz P(A ∪ B ) oraz sprawdź, czy zdarzenia A i B są
niezaleŜne.
4. Ze zbioru Z = {1,2,3,...,9} losujemy 3 razy po jednej cyfrze bez zwracania i układamy w kolejności
losowania w liczbę 3 – cyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe w ten sposób ułoŜymy liczbę:
a) większą od 666
b) mniejszą od 540
c) parzystą
d) podzielną przez 5
5. Osiem osób, wśród nich X i Y, ustawia się losowo w kolejce. Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe:
a) X i Y stoją w tej kolejce obok siebie;
b) między X i Y stoją dokładnie 2 osoby;
c) X stoi bliŜej okienka kasowego niŜ Y.
6. Na egzamin przygotowano 45 tematów, z których zdający losuje 3. Uczeń otrzymuje ocenę bardzo
dobrą, jeśli odpowie na wszystkie pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe uczeń dostanie ocenę
2
bardzo dobrą, jeśli zna odpowiedzi na tematów.
3
7. Ze zbioru liczb Z = {1,2,3,..., (2n − 1)} losujemy 2 razy po jednej bez zwracania. Oblicz
prawdopodobieństwo tego, Ŝe:
a) za pierwszym razem wylosowano liczbę nieparzystą;
b) za drugim razem wylosowano liczbę nieparzystą.
8. W urnie jest n kul, w tym 5 białych. Losujemy z tej urny 2 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe:
a) obie wylosowane kule są białe
b) dla jakiego n prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych jest większe od
1
?
3
9. Ze zbioru liczb Z = {1,2,3...,2002} losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe wylosowana liczba
jest podzielna przez 4 lub przez 10.
10. Ze zbioru Z = {x : x ∈ C ∧ 3 * 9 x − 82 * 3x + 27 ≤ 0} losujemy 3 liczby a, b, c i tworzymy funkcję
f ( x) = ax 2 + bx = c . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
a) A – otrzymana funkcja jest parzysta
b) B – otrzymana funkcja jest malejąca w zbiorze R
c) C – wykres funkcji przechodzi przez punkt (0,2) i funkcja osiąga w tym punkcie minimum.
11. Na 10 kartkach napisane są liczby: 0, 1, 2, 3, ... , 9. Losujemy kolejno bez zwracania 2 kartki. Zapisane
w kolejności losowania liczby tworzą parę uporządkowaną (x, y). Oblicz prawdopodobieństwo tego, Ŝe
ta para spełnia warunek:
a) x − 2⟨ y ≤ 4 x − x 2
b) 5 − x ≥ y⟩ x 2 − 2 x
12. Z urny zawierającej n kul, w tym 6 białych losujemy 2 kule. Ile wynosi n, jeśli prawdopodobieństwo
1 2
wylosowania dwóch kul białych naleŜy do przedziału  , 
3 3
13. W I urnie jest 20 kul, w tym 4 białe, w II urnie – 15 kul, w tym 6 białych. Rzucamy dwiema kostkami
do gry. Jeśli suma wyrzuconych oczek wynosi co najwyŜej 5 – losujemy jedną kulę z I urny, w
pozostałych przypadkach – losujemy jedną kulę z II urny. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania w
ten sposób kuli białej.
14. W I urnie są kule czarne i białe, w II urnie - 9 niebieskich i 6 zielonych, w III urnie – 2 niebieskie i 4
zielone. Losujemy kulę z I urny i – jeśli jest to kula czarna, to następnie losujemy jedną kulę z II urny,
a jeśli biała – to losujemy jedną kulę z III urny. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej
z I urny, jeśli prawdopodobieństwo wylosowania według opisanego schematu kuli niebieskiej jest takie
samo, jak kuli zielonej.
15. Z urny zawierających n kul czerwonych i 3 zielone losujemy 2 kule i wrzucamy je do drugiej urny,
początkowo pustej. Ile powinno być kul czerwonych w I urnie, aby prawdopodobieństwo wylosowania
7
?
kuli czerwonej z II urny było mniejsze od
12
16. Rzucamy 2 razy kostką do gry i określamy zdarzenia:
A – wyrzucenie parzystej liczby oczek na kaŜdej kostce
B- wyrzucenie sumy oczek podzielnej przez 6.
Oblicz prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B oraz sprawdź, czy zdarzenia te są niezaleŜne.
17. Z urny zawierającej 3 kule białe i 2 czarne losujemy 4 razy po 2 kule ze zwracaniem tych dwóch kul do
urny. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 3 razy pary kul róŜnokolorowych.
18. KaŜda z 3 urn zawiera 21 kul, z których dokładnie k jest białych. Z kaŜdej urny wyciągamy losowo
jedną kulę. Zbadaj, dla jakiej wartości k prawdopodobieństwo wyciągnięcia dokładnie dwóch białych
kul jest największe.
19. Z urny zawierającej 4 kule oznaczone liczbami: -1, 0 1, 2 losujemy 2 kule. Suma liczb na
wylosowanych kulach jest zmienną losową. Wyznacz rozkład tej zmiennej losowej oraz oblicz jej
wartość oczekiwaną.
20. Uczeń rzuca 3 razy piłką do kosza. Prawdopodobieństwo trafienia w jednym rzucie wynosi 0,25.
Wyznacz rozkład i wartość oczekiwaną liczby trafień. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba
trafień?
21. Spośród wierzchołków sześciokąta foremnego wybrano losowo 2 róŜne. Odległość między nimi jest
zmienną losową. Oblicz jej wartość oczekiwaną, jeśli bok sześciokąta ma długość 1.
πx
πx
+ 2 sin − 1 = 0 naleŜące do przedziału (0,2π ) są wartościami zmiennej
2
2
losowej Y. Zmienna ta przyjmuje je z prawdopodobieństwami tworzącymi ciąg geometryczny o
4
pierwszym wyrazie a 1 = . Podaj rozkład, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y.
7
22. Pierwiastki równania: cos 2
23. Ze zbioru n kul, wśród których są 3 czarne losujemy 2 kule. Niech X oznacza liczbę kul czarnych
wśród losowo wybranych. Ile jest wszystkich kul, jeśli wiadomo, Ŝe wartość oczekiwana liczby
wylosowanych kul czarnych wynosi 0,4.
24. Ze zbioru Z = {1,2,3,...2n} gdzie n ∈ N losujemy 2 liczby a i b. Niech X będzie zmienną losową, której
wartością jest reszta z dzielenia a +b przez 2.
a) Podaj rozkład i oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej X.
b) Zbadaj, jak zmienia się Wartość oczekiwana X w zaleŜności od n.
( )
25. W urnie znajdują się kartki z napisami: log 1 3 3 , log
1
0,25 , log 0, 2 5 3 , log
2
125
5,
3
1
1
logπ 1 , log 3
, log 4 2 3 . Wylosowano 6 razy 2 kartki ze zwracaniem. Oblicz
81
prawdopodobieństwo, Ŝe dokładnie 2 razy wylosowano 2 kartki z liczbami ujemnymi.
26. Rzucamy n razy kostką sześcienną. Wyznacz n tak, aby prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej
91
jednej szóstki było większe od
.
216
27. Zmienna losowa przyjmuje wartości x1 , x2 , x3 = 3 odpowiednio z prawdopodobieństwami 0,4; 0,3; p3.
Znajdź rozkład tej zmiennej, jeśli wiadomo, Ŝe EX = 1,9 oraz D2X = 0,69.
28. Dany jest kwadrat o boku 1. Spośród wierzchołków i środków boków tego kwadratu wybrano losowo 3
róŜne. Pole trójkąta o wierzchołkach w wybranych punktach jest zmienną losową. Oblicz jej wartość
oczekiwaną.